Calcule integral duplaD f(x, y) d x d y sendo dados:
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x^5cos(y^3) sobre a região D=(x,y)mid y>= x^2,;x^2+y^2<=2. O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas e exploração de simetria (funções pares e ímpares).

Passo 2

Precisamos descrever D como um domínio de integração: a curva y=x^2 e o círculo x^2+y^2=2 se intersectam onde
x^2+(x^2)^2=2implies x^4+x^2-2=0implies x^2=1implies x=pm1
Então, para cada x entre -1 e 1, o y varia de y=x^2 até y=raiz2-x^2.

Passo 3

Montamos a integral iterada em ordem dy,dx:
integral duplaDx^5cos(y^3),dx,dy= integralx=-1^1l(integraly=x^2^raiz2-x^2x^5cos(y^3),dyr)dx

Passo 4

Observe que dentro da integral externa o integrando é x^5 vezes uma função de y e de x^2. Como x^5 é ímpar em x e os limites em x são simétricos (de -1 a 1), toda contribuição se cancela. Logo, a integral vale zero.

Resposta

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