Esboce a região de integração para a integral iterada
integral0^1 integralraizy^3 raizy f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração
R = l(x,y)mid 0 <= y <= 1,;raizy<= x <= 3raizyr
O conteúdo é interpretação geométrica de integrais iteradas: identificar as curvas que definem as fronteiras de R e desenhá-las no plano xy.

Passo 2

Traduzimos as fronteiras em função de x e y:
x = raizy equivale a
y = x^2,
e
x = 3raizy equivale a
y = x^29
Além disso, temos as retas horizontais y=0 (embora ela colapse em x=0) e y=1.

Passo 3

Determinamos os pontos notáveis de interseção:
– As duas parábolas se encontram em (0,0).
– A reta y=1 intersecta y=x^2 em x=1 e intersecta y=x^2/9 em x=3.

Passo 4

Esboço da região R:
  1. Trace o eixo x horizontal e o eixo y vertical.
  2. Desenhe a parábola mais “aberta” y = x^2/9 (vértice em (0,0), passa por (3,1)).
  3. Desenhe a parábola mais “fechada” y = x^2 (vértice em (0,0), passa por (1,1)).
  4. Marque a reta horizontal y=1.
  5. A região R é o “faixa” entre essas duas parábolas para 0<= y<=1: para cada y de 0 a 1, x vai de raizy até 3raizy.

Resposta

A região de integração é o conjunto de pontos no primeiro quadrante limitado pelas curvas
x = raizy, x = 3raizy, y = 0, y = 1,
isto é, a “faixa” entre as parábolas y = x^2 e y = x^2/9 para 0 <= y <= 1.

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