Calcule integral duplaD x y d A, onde D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 2 e x >= 0.

Passo 1

O exercício pede para calcular integral duplaD x y ,dA, onde D é definido por x^2+y^2 <= 2e x e x>=0. O conteúdo envolve integrais duplos e uso de simetria de regiões no plano.

Passo 2

Vamos identificar melhor a região D. Fazendo o “completar o quadrado” em x:
x^2 - 2e x + y^2 <= 0 ; Long<=ftrightarrow; (x - e)^2 + y^2 <= e^2

Passo 3

Portanto, D é o disco de centro (e,0) e raio e. Note que esse disco fica inteiramente em x>=0, mas isso não quebra a simetria em y.

Passo 4

Como D é simétrico em relação ao eixo x, para cada ponto (x,y) em D existe (x,-y). A função f(x,y)=xy é ímpar em y, pois f(x,-y)=-f(x,y). Logo, as áreas positivas e negativas se cancelam.

Resposta

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