Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
x^2 y' + 3 x y = 1/x, y(1) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação e, como temos uma condição inicial , também vamos achar a solução particular. Para resolver isso, vamos usar o método das equações lineares de primeiro grau.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais conhecida. Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, vemos que a equação está na forma padrão de uma equação linear:
Onde e .

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, , é dado por:
Vamos calcular isso:

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por :
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Como temos a condição inicial , vamos encontrar o valor de . Substituindo e na solução geral:
Resolvendo para :

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial , é:

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