Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação
e, como temos uma condição inicial
, também vamos achar a solução particular. Para resolver isso, vamos usar o método das equações lineares de primeiro grau.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais conhecida. Dividindo todos os termos por
, temos:
Aqui, vemos que a equação está na forma padrão de uma equação linear:
Onde
e
.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante,
, é dado por:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Como temos a condição inicial
, vamos encontrar o valor de
. Substituindo
e
na solução geral:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial
, é: