Considere a integral dupla
I=integral duplaD 1raizx^2+y^2 d A
onde D é região interior à circunferência x^2+(y-2)^2=4 e exterior à circunferência x^2+y^2=4.
(b) Calcule a integral I.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla:
I = integral duplaD 1raizx^2+y^2 , dA
Aqui, a região é o espaço que está dentro da circunferência e, ao mesmo tempo, fora da circunferência . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente mudança para coordenadas polares, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Temos duas circunferências:
  1. : Esta é uma circunferência com centro na origem (0,0) e raio 2.
  2. : Esta é uma circunferência com centro em (0,2) e também raio 2.
Queremos a região que está dentro da segunda circunferência e fora da primeira. Vamos passar essas equações para coordenadas polares, onde e .

Passo 3

Em coordenadas polares, a integral dupla fica:
I = integral duplaD 1r cdot r , dr , dtheta = integral duplaD dr , dtheta
Aqui, simplificamos para e . O no numerador e no denominador se cancelam, deixando .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . As duas circunferências se interceptam quando e .
Vamos analisar os limites de . Como as circunferências estão simétricas em relação ao eixo y, podemos integrar de a e depois dobrar o resultado.
Para , na região , ele varia da circunferência interna (origem) até a circunferência externa. A circunferência interna é (origem) e a externa é centrada em (0,2). Precisamos encontrar a expressão de em termos de para a circunferência externa.

Passo 5

A circunferência externa em coordenadas polares pode ser expressa como:
x^2 + (y - 2)^2 = 4 (r costheta)^2 + (r sintheta - 2)^2 = 4
Expandindo e simplificando:
r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta - 4 r sintheta + 4 = 4 r^2 (cos^2theta + sin^2theta) - 4 r sintheta = 0 r^2 - 4 r sintheta = 0 r (r - 4 sintheta) = 0
Então, a solução relevante é:
r = 4 sintheta

Passo 6

Agora temos os limites de integração:
  • I = 2 integral0^pi integral0^4 sintheta dr , dtheta varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Portanto, a integral fica:
Multiplicamos por 2 devido à simetria em relação ao eixo y.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^4 sintheta dr = 4 sintheta
Então, a integral se torna:
I = 2 integral0^pi 4 sintheta , dtheta = 8 integral0^pi sintheta , dtheta

Passo 8

Agora, resolvemos a integral de integral sintheta , dtheta = -costheta :
-cospi + cos0 = -(-1) + 1 = 2
Aplicando os limites de a :

Passo 9

Multiplicando pelo fator externo:
I = 8 times 2 = 16

Resposta

O valor da integral é 16.

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