Considere a integral dupla
onde
é região interior à circunferência
e exterior à circunferência
.
(b) Calcule a integral I.
(b) Calcule a integral I.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla:
Aqui, a região
é o espaço que está dentro da circunferência
e, ao mesmo tempo, fora da circunferência
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente mudança para coordenadas polares, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Temos duas circunferências:
-
: Esta é uma circunferência com centro na origem (0,0) e raio 2. -
: Esta é uma circunferência com centro em (0,2) e também raio 2.
Queremos a região que está dentro da segunda circunferência e fora da primeira. Vamos passar essas equações para coordenadas polares, onde
e
.
Passo 3
Em coordenadas polares, a integral dupla fica:
Aqui, simplificamos
para
e
. O
no numerador e no denominador se cancelam, deixando
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. As duas circunferências se interceptam quando
e
.
Vamos analisar os limites de
. Como as circunferências estão simétricas em relação ao eixo y, podemos integrar de
a
e depois dobrar o resultado.
Para
, na região
, ele varia da circunferência interna (origem) até a circunferência externa. A circunferência interna é
(origem) e a externa é
centrada em (0,2). Precisamos encontrar a expressão de
em termos de
para a circunferência externa.
Passo 5
A circunferência externa em coordenadas polares pode ser expressa como:
Expandindo e simplificando:
Então, a solução relevante é:
Passo 6
Agora temos os limites de integração:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a .
Portanto, a integral fica:
Multiplicamos por 2 devido à simetria em relação ao eixo y.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral de
:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 9
Multiplicando pelo fator externo:
Resposta
O valor da integral
é 16.