Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é da forma
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. Temos
e
. O próximo passo é calcular o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 3
O fator integrante
é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Simplificando a fração:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante real.