Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
y' + 3.5 y = 2.8

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é da forma . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. Temos e . O próximo passo é calcular o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 3

O fator integrante é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando:
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Simplificando a fração:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante real.

Exercícios relacionados