Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial:
E também uma solução particular que satisfaça a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e aplicar técnicas de substituição para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar o termo que envolve a derivada
. A equação original é:
Vamos mover o termo
para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por
para resolver para
:
Simplificando, temos:
Passo 3
Essa equação parece um pouco complicada, mas podemos simplificá-la fazendo uma substituição. Vamos definir uma nova função
que seja igual ao quadrado de
:
Então, a derivada de
em relação a
será:
Passo 4
Substituindo
da equação anterior na expressão de
, temos:
Como
, substituímos de volta:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma:
Para resolver isso, precisamos encontrar um fator integrante. A forma geral para o fator integrante
é:
Onde
é o coeficiente de
na equação diferencial. Aqui,
.
Passo 6
Calculando o fator integrante:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 9
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 10
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
na equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resposta
A solução particular que satisfaz a condição inicial
é: