Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
x^4 + y^2 - x * y * y' = 0, y(2) = 1

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial:
E também uma solução particular que satisfaça a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e aplicar técnicas de substituição para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar o termo que envolve a derivada . A equação original é:
Vamos mover o termo para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por x y para resolver para :
Simplificando, temos:

Passo 3

Essa equação parece um pouco complicada, mas podemos simplificá-la fazendo uma substituição. Vamos definir uma nova função v que seja igual ao quadrado de y:
Então, a derivada de v em relação a x será:

Passo 4

Substituindo da equação anterior na expressão de , temos:
Como , substituímos de volta:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma:
Para resolver isso, precisamos encontrar um fator integrante. A forma geral para o fator integrante mu(x) é:
Onde P(x) é o coeficiente de v na equação diferencial. Aqui, .

Passo 6

Calculando o fator integrante:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a x:
Isso nos dá:
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por x^2 para isolar v:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 9

Para encontrar y, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 10

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de C.
Substituindo x = 2 e na equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial é:

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