Calcule:
integral duplaD e^x^2+y^2 d A onde D=(x, y) in R^2 ; 1 <= x^2+y^2 <= 4,-x <= y <= x, x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral duplaD e^x^2+y^2,dA
sobre a região
D = (x,y)inR^2 mid 1<= x^2+y^2<= 4,;-x<= y<= x,;x>= 0
O conteúdo é mudança para coordenadas polares, já que a função depende de x^2+y^2 e a região é limitada por círculos e por retas que viram limites angulares.

Passo 2

Em coordenadas polares, usamos
x = rcostheta, y = rsintheta,
e dA = r,dr,dtheta.
As condições ficam:
  1. 1<= r^2<= 4, ou seja 1<= r<= 2.
  2. x>= 0 e -x<= y<= x dão
    costheta>=0 e -costheta<=sintheta<=costheta.
    Como costheta>=0 implica thetain[-tfracpi2,tfracpi2], a condição -1<=tantheta<=1 restringe ainda a thetain[-tfracpi4,tfracpi4].

Passo 3

Logo a integral vira
integraltheta=-pi4^pi4 integralr=1^2 e^r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r. Use u=r^2, então du=2r,dr e r,dr=tfrac12,du. Os limites em u vão de 1^2=1 até 2^2=4.
integralr=1^2 e^r^2,r,dr = tfrac12integralu=1^4 e^u,du = tfrac12l[e^ur]1^4 = tfrace^4-e^12 = e^4-e2

Passo 5

Agora integramos em theta no intervalo de comprimento tfracpi2:
integraltheta=-pi4^pi4 !!dtheta = pi2
Multiplicando dá
integral duplaD e^x^2+y^2,dA = e^4-e2;cdot;pi2 = pi,(e^4-e)4

Resposta

pi,(e^4-e)4

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