Resolva as equações:
y^prime=(cos ^2 x)(cos ^2 2 y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = (cos^2 x),(cos^2(2y))
O conteúdo necessário é separar variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Separe as variáveis, escrevendo y' como dfracdydx:
dydx = cos^2 x ,cos^2(2y) ;Longrightarrow; dycos^2(2y) = cos^2 x ,dx

Passo 3

Reconheça que dfrac1cos^2(2y)=sec^2(2y). Integre ambos os lados:
integral sec^2(2y),dy = integral cos^2 x ,dx

Passo 4

Calcule as integrais separadamente.
Para o lado esquerdo use a substituição u=2y, du=2,dy:
integral sec^2(2y),dy = 12integral sec^2(u),du = 12 tan(u) = 12 tan(2y)
Para o lado direito use a identidade cos^2 x = tfrac1+cos(2x)2:
integral cos^2 x ,dx = integral 1+cos(2x)2,dx = 12 integral 1,dx + 12integral cos(2x),dx = x2 + 14sin(2x)

Passo 5

Combine os resultados e inclua a constante de integração C:
12 tan(2y) = x2 + 14sin(2x) + C
Multiplique tudo por 2:
tan(2y) = x + 12sin(2x) + C1,
onde C1=2C é outra constante arbitrária.

Passo 6

Isto dá a solução implícita. Para escrever explicitamente:
2y = arctan!l(x + tfrac12sin(2x) + C1r) + kpi,
y(x) = 12,arctan!l(x + tfrac12sin(2x) + C1r) + kpi2,
com kinZ.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
tan(2y) = x + tfrac12sin(2x) + C1,
ou explicitamente por
y(x) = 12,arctan!l(x + tfrac12sin(2x) + C1r) + kpi2, kinZ

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