Calcule integral duplaD y d A, onde D é a região entre os gráficos das funções y=x e y=x^2, 0 <= x <= 2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla integral duplaD y , dA, onde D é a região delimitada pelas funções y = x e y = x^2, no intervalo 0 <= x <= 2. Aqui, estamos usando conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar a área sob a superfície definida pela função y sobre a região D.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região D onde faremos a integração. Temos duas funções: y = x e y = x^2. Vamos plotar essas funções para ver onde elas se intersectam no intervalo dado.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
x = x^2
Resolvendo essa equação, temos:
x^2 - x = 0 x(x - 1) = 0 x = 0 ou x = 1
Então, as curvas se intersectam nos pontos x = 0 e x = 1.

Passo 4

Agora, precisamos determinar qual função está acima da outra entre x = 0 e x = 1. Vamos testar um valor, por exemplo, x = 0.5:
y = x = 0.5 y = x^2 = 0.25
Então, y = x está acima de y = x^2 nesse intervalo.

Passo 5

Para calcular a integral dupla, vamos expressar a região D em termos de x e y. Podemos integrar horizontalmente, ou seja, para cada x entre 0 e 2, y varia de x^2 a x.

Passo 6

No entanto, observamos que para x entre 1 e 2, a função y = x^2 fica acima de y = x. Vamos confirmar isso substituindo x = 1.5:
y = x = 1.5 y = x^2 = 2.25
Portanto, para 1 <= x <= 2, y = x^2 está acima de y = x.

Passo 7

Agora, dividimos a integral em duas partes:
  1. De x = 0 a x = 1, onde y varia de x^2 a x.
  2. De x = 1 a x = 2, onde y varia de x a x^2.

Passo 8

Escrevemos a integral dupla como a soma das duas integrais:
integral duplaD y , dA = integral0^1 integralx^2^x y , dy , dx + integral1^2 integralx^x^2 y , dy , dx

Passo 9

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de 0 a 1:
integral0^1 ( integralx^2^x y , dy ) dx = integral0^1 [ y^22 ]x^2^x dx = integral0^1 ( x^22 - (x^2)^22 ) dx = integral0^1 ( x^22 - x^42 ) dx

Passo 10

Integrando em relação a x:
integral0^1 ( x^22 - x^42 ) dx = 12 [ x^33 - x^55 ]0^1 = 12 ( 13 - 15 ) = 12 ( 5 - 315 ) = 12 cdot 215 = 115

Passo 11

Agora, calculamos a segunda integral de 1 a 2:
integral1^2 ( integralx^x^2 y , dy ) dx = integral1^2 [ y^22 ]x^x^2 dx = integral1^2 ( (x^2)^22 - x^22 ) dx = integral1^2 ( x^42 - x^22 ) dx

Passo 12

Integrando em relação a x:
integral1^2 ( x^42 - x^22 ) dx = 12 [ x^55 - x^33 ]1^2 = 12 ( ( 325 - 83 ) - ( 15 - 13 ) ) = 12 ( 9615 - 4015 - 315 + 515 ) = 12 ( 96 - 40 - 3 + 515 ) = 12 cdot 5815 = 2915

Resposta

Somando as duas partes, temos:
integral duplaD y , dA = 115 + 2915 = 3015 = 2
Portanto, o valor da integral dupla é 2.

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