Calcule
, onde
é a região entre os gráficos das funções
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região delimitada pelas funções
e
, no intervalo
. Aqui, estamos usando conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar a área sob a superfície definida pela função
sobre a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
onde faremos a integração. Temos duas funções:
e
. Vamos plotar essas funções para ver onde elas se intersectam no intervalo dado.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Resolvendo essa equação, temos:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar qual função está acima da outra entre
e
. Vamos testar um valor, por exemplo,
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Para calcular a integral dupla, vamos expressar a região
em termos de
e
. Podemos integrar horizontalmente, ou seja, para cada
entre
e
,
varia de
a
.
Passo 6
No entanto, observamos que para
entre
e
, a função
fica acima de
. Vamos confirmar isso substituindo
:
Portanto, para
,
está acima de
.
Passo 7
Agora, dividimos a integral em duas partes:
- De
a , onde varia de a . - De
a , onde varia de a .
Passo 8
Escrevemos a integral dupla como a soma das duas integrais:
Passo 9
Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de
a
:
Passo 10
Integrando em relação a
:
Passo 11
Agora, calculamos a segunda integral de
a
:
Passo 12
Integrando em relação a
:
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Portanto, o valor da integral dupla é 2.