Calcule
integral duplaD e^x^2+y^2 d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; 1 <= x^2+y^2 <= 4,-x <= y <= x, x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral duplaDe^x^2+y^2,dx,dy
onde
D=l(x,y)inR^2mid 1<= x^2+y^2<=4,,-x<= y<= x,;x>=0r
O conteúdo aqui é usar coordenadas polares para aproveitar a simetria em círculos.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy=r,dr,dtheta
A condição 1<= x^2+y^2<=4 vira 1<= r^2<=4, ou seja 1<= r<=2.
As retas y=pm x em polares são theta=pmpi/4, e x>=0 impõe -pi/2<=theta<=pi/2. Interseção dá
-pi4<=theta<=pi4

Passo 3

Substituindo no integral, temos
integral duplaDe^x^2+y^2,dx,dy =integraltheta=-pi/4^pi/4integralr=1^2e^r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Calcular a integral interna em r:
integral1^2r,e^r^2,dr =12e^r^2m|1^2 =12l(e^4-e^1r) =12l(e^4-er)

Passo 5

Calcular a integral em theta e combinar:
integral-pi/4^pi/4dtheta =pi2,
portanto
integral duplaDe^x^2+y^2,dx,dy =pi2times12l(e^4-er) =pi4l(e^4-er)

Resposta

pi4l(e^4-er)

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