Obtenha d yd x se y é definida implicitamente como função de x através da equação:
tg(x+y)=ln (x y)

Passo 1

Temos a equação implícita
tan(x+y)=ln(xy),
onde y é função de x. Para encontrar dydx usaremos derivação implícita, aplicando a regra da cadeia na derivada de tan(x+y) e a regra do quociente (ou produto) na derivada de ln(xy).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
À esquerda, com u=x+y,
ddxl[tan(u)r] =sec^2(u),dudx =sec^2(x+y),(1+y')
À direita,
ddxl[ln(xy)r] =1xy,ddx[,xy,] =1xy,(y + x,y')
Logo
sec^2(x+y),(1+y')=y + x,y'x,y

Passo 3

Eliminamos a fração multiplicando por x,y e agrupamos os termos em y':
x,y,sec^2(x+y),(1+y')=y + x,y' ;Longrightarrow; x,y,sec^2(x+y)+x,y,sec^2(x+y),y'=y + x,y'
Reagrupando termos que envolvem y':
x,y,sec^2(x+y),y' - x,y' ;=; y - x,y,sec^2(x+y)

Passo 4

Fatorando y' no lado esquerdo e isolando:
y'l(x,y,sec^2(x+y)-xr) = yl(1 - x,sec^2(x+y)r),
dydx=y' =yl(1 - x,sec^2(x+y)r)xl(y,sec^2(x+y)-1r)

Resposta

dydx =yl(1 - x,sec^2(x+y)r)xl(y,sec^2(x+y)-1r)

Exercícios relacionados