Obtenha d yd x se y é definida implicitamente como função de x através da equação:
ln y+xy=0

Passo 1

O enunciado define y=y(x) de forma implícita por
ln y + xy = 0
e pede dydx. Vamos usar derivação implícita, aplicando as regras de derivada de ln y e do quociente x/y.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
  • ddx[ln y]=1yy'.
  • Pela regra do quociente,
ddxl(xyr) =ycdot1 - xcdot y'y^2
Logo a equação derivada é
y'y + y - x,y'y^2 = 0

Passo 3

Multiplicamos tudo por y^2 para eliminar denominadores:
y',y + y - x,y' = 0

Passo 4

Agrupando os termos com y':
y'(y - x) + y = 0 Longrightarrow y'(y - x) = -y Longrightarrow y' = -yy - x = yx - y

Resposta

dydx = yx - y

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