integral0^1 integral1^2(x^4-y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral0^1 integral1^2(x^4-y^2) , dx , dy. Esse exercício pertence ao assunto de Cálculo Integral, mais especificamente a integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: integral1^2(x^4-y^2) , dx. Aqui, tratamos y como uma constante porque estamos integrando em relação a x. Então, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 3

Integrando x^4 em relação a x:
integral x^4 , dx = x^55
E integrando -y^2 em relação a x:
integral -y^2 , dx = -y^2x

Passo 4

Agora, vamos substituir os limites de integração de 1 a 2 para cada parte:
[x^55 - y^2x]1^2 = (2^55 - y^2(2)) - (1^55 - y^2(1))

Passo 5

Calculando os valores:
325 - 2y^2 - (15 - y^2) = 325 - 2y^2 - 15 + y^2 = 315 - y^2

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado 315 - y^2 em relação a y de 0 a 1:
integral0^1 (315 - y^2) , dy

Passo 7

Integrando cada termo:
315y - y^33
Substituímos os limites de 0 a 1:
(315(1) - 1^33) - (315(0) - 0^33) = 315 - 13

Passo 8

Agora, vamos calcular 315 - 13:
31 times 315 - 1 times 515 = 9315 - 515 = 8815

Resposta

O valor da integral dupla é 8815.

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