O problema pede para calcular a integral dupla , onde é a região limitada pelas retas , , e . Isso cai em integração em coordenadas afinadas, usando transformação linear e Jacobiano.
Passo 2
Vamos fazer a mudança de variáveis
A ideia é que a região em vira um retângulo simples em .
Passo 3
Para expressar e em função de e calcular o Jacobiano, resolvemos:
A matriz Jacobiana é
cujo determinante vale Logo
Passo 4
Agora traduzimos o integrando e os limites. Temos
x-yx+y = uv
E os limites: de x-y=0 a x-y=1 vira uin[0,1], e de x+y=1 a x+y=3 vira vin[1,3]. Assim a integral fica
I = integral duplaD x-yx+y ,dA = integralu=0^1 integralv=1^3 uv cdot 12 ,dv,du
Passo 5
Basta então calcular:
I = 12 integral0^1 ( integral1^3 uv ,dv ) du = 12 integral0^1 l[u ln vr]v=1^3 du = 12 integral0^1 u ln 3 ,du = ln 32 cdot [ u^22 ]0^1 = ln 32 cdot 12 = ln 34