Calcule integral duplaD x-yx+y d A, onde D é a região limitada pelas retas x-y=0, x-y=1, x+y=1, x+y=3.
[
\left(\mathrm{V}=\frac{1}{4} \ln (3) \mathrm{m}^{3}\right)

Passo 1

O problema pede para calcular a integral dupla integral duplaD x-yx+y ,dA, onde D é a região limitada pelas retas x-y=0, x-y=1, x+y=1 e x+y=3. Isso cai em integração em coordenadas afinadas, usando transformação linear e Jacobiano.

Passo 2

Vamos fazer a mudança de variáveis
u = x - y, v = x + y
A ideia é que a região D em (x,y) vira um retângulo simples em (u,v).

Passo 3

Para expressar x e y em função de (u,v) e calcular o Jacobiano, resolvemos:
x = u+v2, y = v-u2
A matriz Jacobiana é
J = partial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v = 1/2 & 1/2 -1/2 & 1/2 ,
cujo determinante vale det J = (1/2)(1/2) - (1/2)(-1/2) = 1/2 Logo
dA = dx,dy = l|det Jr| ,du,dv = 12 ,du,dv

Passo 4

Agora traduzimos o integrando e os limites. Temos
x-yx+y = uv
E os limites: de x-y=0 a x-y=1 vira uin[0,1], e de x+y=1 a x+y=3 vira vin[1,3]. Assim a integral fica
I = integral duplaD x-yx+y ,dA = integralu=0^1 integralv=1^3 uv cdot 12 ,dv,du

Passo 5

Basta então calcular:
I = 12 integral0^1 ( integral1^3 uv ,dv ) du = 12 integral0^1 l[u ln vr]v=1^3 du = 12 integral0^1 u ln 3 ,du = ln 32 cdot [ u^22 ]0^1 = ln 32 cdot 12 = ln 34

Resposta

14ln(3)

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