Exercício 5 Suponha que
e que
é uma função satisfazendo
sendo
não definida no ponto a e
.
(a) Mostre que
(b) Utilize este resultado para calcular
(a) Mostre que
Passo 1
O enunciado trata de limites de funções de duas variáveis e da composição com uma função de uma variável. Sabemos que
e
, com
não definida em
e
. No item (a) vamos usar a definição
-
de limite para provar o teorema da composição, e no item (b) aplicamos isso ao caso
.
Passo 2
Para provar que
, siga o esquema
-
:
- Seja
. Como , existe tal que - Como
, existe tal que - Tomando
, sempre que temos , e daí
Isso mostra
.
Passo 3
Para calcular
definimos as funções
Note que
e
. Como
, aplicamos o resultado da composição e obtemos que o limite pedido é 1.
Resposta
1