Exercício 5 Suponha que
lim (x, y) (x0, y0) f(x, y)=a
e que g: Dg subset R R é uma função satisfazendo
lim t a g(t)=L
sendo g não definida no ponto a e Imf subset Domg.
(a) Mostre que
lim (x, y) (x0, y0)(g circ f)(x, y)=lim t a g(t)=L
(b) Utilize este resultado para calcular
lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado trata de limites de funções de duas variáveis e da composição com uma função de uma variável. Sabemos que lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)=a e limtto ag(t)=L, com g não definida em a e Im,fsubseteqDom,g. No item (a) vamos usar a definição varepsilon- de de limite para provar o teorema da composição, e no item (b) aplicamos isso ao caso sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2).

Passo 2

Para provar que lim(x,y)to(x0,y0)(gcirc f)(x,y)=L, siga o esquema varepsilon- de:
  1. Seja varepsilon>0. Como limtto ag(t)=L, existe de0 tal que 0<|t-a|
  2. Como lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)=a, existe de0 tal que 0<|(x,y)-(x0,y0)|
  3. Tomando de, sempre que 0<|(x,y)-(x0,y0)| temos 0<|f(x,y)-a|, e daí |g(f(x,y))-L|
Isso mostra lim(x,y)to(x0,y0)g(f(x,y))=L.

Passo 3

Para calcular
lim(x,y)to(0,0)sin(x^2+y^2)x^2+y^2,
definimos as funções
f(x,y)=x^2+y^2,
g(t)=sin tt
Note que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0 e limtto0g(t)=1. Como Im,f=x^2+y^2>=0subseteqDom,g= Rsetminus0, aplicamos o resultado da composição e obtemos que o limite pedido é 1.

Resposta

1

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