Determinar os valores de x os quais a função dada é contínua e os quais é descontínua:
l1x+2, x <= 1 1x, x>1

Passo 1

O enunciado define a função por partes
varphi(x)=dfrac1x+2,&x<=1[6pt]dfrac1x,&x>1
O conteúdo envolvido é continuidade de funções racionais e pontos de junção de peças. Precisamos identificar onde cada parte é contínua e analisar os pontos críticos x=1 (mudança de ramo) e x=-2 (denominador zero).

Passo 2

Funções racionais são contínuas em todo o seu domínio. Na parte x<=1 temos dfrac1x+2, cujo domínio é x+2neq0, ou seja xneq-2. Logo, nessa parte varphi é contínua para
xin(-infty,-2)cup(-2,1]

Passo 3

Na parte x>1 temos dfrac1x. O domínio dessa expressão é xneq0, mas como estamos restritos a x>1, automaticamente xneq0. Portanto varphi é contínua em
(1,infty)

Passo 4

Agora o ponto de junção x=1:
Calcular os limites laterais e comparar com varphi(1). De um lado,
limxto1^-varphi(x)=limxto1^-1x+2=11+2=tfrac13
Do outro,
limxto1^+varphi(x)=limxto1^+1x=11=1
Como os limites não coincidem ( tfrac13neq1), há descontinuidade de salto em x=1.

Passo 5

No ponto x=-2 a parte tfrac1x+2 fica com denominador zero, então varphi(-2) não está definida. Isso gera uma descontinuidade infinita em x=-2.

Resposta

A função é contínua para todos os x tais que
xin(-infty,-2)cup(-2,1)cup(1,infty)
e é descontínua em x=-2 e x=1.

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