Determinar os valores de os quais a função dada é contínua e os quais é descontínua:
Passo 1
O enunciado define a função por partes
O conteúdo envolvido é continuidade de funções racionais e pontos de junção de peças. Precisamos identificar onde cada parte é contínua e analisar os pontos críticos x=1 (mudança de ramo) e x=-2 (denominador zero).
Passo 2
Funções racionais são contínuas em todo o seu domínio. Na parte x<=1 temos dfrac1x+2, cujo domínio é x+2neq0, ou seja xneq-2. Logo, nessa parte varphi é contínua para
xin(-infty,-2)cup(-2,1]
Passo 3
Na parte x>1 temos dfrac1x. O domínio dessa expressão é xneq0, mas como estamos restritos a x>1, automaticamente xneq0. Portanto varphi é contínua em
(1,infty)
Passo 4
Agora o ponto de junção x=1:
Calcular os limites laterais e comparar com varphi(1). De um lado,
limxto1^-varphi(x)=limxto1^-1x+2=11+2=tfrac13
Do outro,
limxto1^+varphi(x)=limxto1^+1x=11=1
Como os limites não coincidem (tfrac13neq1), há descontinuidade de salto em x=1.
Passo 5
No ponto x=-2 a parte tfrac1x+2 fica com denominador zero, então varphi(-2) não está definida. Isso gera uma descontinuidade infinita em x=-2.