Exercício 3 Considere a função
f(x, y)=l x yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0), 0, caso contrário á
(a) Mostre que f não é contínua em (0,0).
(b) Dado h in R backslash0, calcule
lim h 0 f(h, 0)-f(0,0)h
© Dado k in R backslash0, calcule
lim k 0 f(0, k)-f(0,0)k

Passo 1

A gente tem a função definida por
f(x,y)=xyx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),0,&(x,y)=(0,0)
O que a questão pede é (1) investigar a continuidade de f em (0,0) e (2) calcular as derivadas direcionais ao longo dos eixos x e y. Para isso, vamos usar conceitos de limite e de continuidade em R^2.

Passo 2

Para mostrar que f não é contínua em (0,0), basta encontrar duas maneiras de chegar em (0,0) pelas quais o limite de f(x,y) seja diferente de f(0,0)=0. Se pegarmos a reta y=x, então
limtto0f(t,t)=limtto0tcdot tt^2+t^2=limtto0t^22t^2=12neq0
Como esse limite é 1/2 e não coincide com f(0,0)=0, a função não é contínua em (0,0).

Passo 3

Para calcular
hneq0
note que para f(h,0)=tfrachcdot0h^2+0^2=0 temos f(h,0)-f(0,0)h=0-0h=0 . Logo a diferença
hto0
e o limite quando 0 é simplesmente .

Passo 4

De modo análogo, para o outro quociente
f(0,k)=tfrac0cdot k0+k^2=0
veja que f(0,k)-f(0,0)k=0-0k=0 . Assim
kto0
e o limite quando 0 também é .

Resposta

(a) f não é contínua em (0,0), pois limtto0f(t,t)=1/2neq f(0,0)=0.
(b) 0.
© 0.

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