Exercício 3 Considere a função
(a) Mostre que
não é contínua em
.
(b) Dado
, calcule
© Dado
, calcule
(b) Dado
Passo 1
A gente tem a função definida por
O que a questão pede é (1) investigar a continuidade de
em
e (2) calcular as derivadas direcionais ao longo dos eixos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de limite e de continuidade em
.
Passo 2
Para mostrar que
não é contínua em
, basta encontrar duas maneiras de chegar em
pelas quais o limite de
seja diferente de
. Se pegarmos a reta
, então
Como esse limite é
e não coincide com
, a função não é contínua em
.
Passo 3
Para calcular
note que para temos
. Logo a diferença
note que para
e o limite quando
é simplesmente
.
Passo 4
De modo análogo, para o outro quociente
veja que . Assim
veja que
e o limite quando
também é
.
Resposta
(a) f não é contínua em (0,0), pois
.
(b) .
© .
(b)
©