Calcule a integral integral duplaD e^x+yx-y d A, onde D é a região do plano trapezoidal com vértices (1,0), (2,0),(0,-2), e (0,-1).
[
\left(\mathrm{V}=\frac{3}{4}\left(e-e^{-1}\right) \mathrm{m}^{3}\right)

Passo 1

A gente quer calcular a integral dupla integral duplaD e^x+yx-y,dA, onde D é o trapézio com vértices (1,0), (2,0), (0,-2) e (0,-1). O conteúdo é integração dupla com mudança de variáveis, e vamos precisar usar a transformação u=x+y, v=x-y.

Passo 2

Definimos u=x+y e v=x-y. Invertendo:
x=u+v2, y=u-v2

Passo 3

O Jacobiano é
J=detxu & xvyu & yv=det1/2 & 1/21/2 & -1/2=-tfrac12,
então dA=|J|,du,dv=tfrac12,du,dv.

Passo 4

Transformamos os vértices de D em (u,v):
(1,0)to(1,1),(2,0)to(2,2),(0,-2)to(-2,2),(0,-1)to(-1,1)
A região M em (u,v) fica entre v=1 e v=2, com u variando de -v a v.

Passo 5

A integral fica
I=integral duplaD e^x+yx-ydA=12integralv=1^2integralu=-v^v e^u/v,du,dv

Passo 6

Para a integral interna, fazemos t=u/v, daí
integral-v^v e^u/vdu=vintegral-1^1 e^t dt=vl(e-e^-1r)

Passo 7

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I=12l(e-e^-1r)integral1^2 v,dv=e-e^-12cdot(2^2-1^2)2=34l(e-e^-1r)

Resposta

34l(e-e^-1r)

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