Verifique em quais pontos as funçôes abaixo são possuem derivadas parciais
f(x, y)=lx^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, caso contrário á

Passo 1

O enunciado pede para verificar em quais pontos de ℝ² a função f tem derivadas parciais. O conteúdo envolvido é definição de derivada parcial e uso de diferenciação de funções de duas variáveis. Vamos precisar do conceito de derivada parcial em pontos onde a função é dada por fórmula e da definição de derivada parcial via limite no ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y) ≠ (0,0), a função f(x,y)=x³/(x²+y²) é quociente de polinômios com denominador não nulo, logo é diferenciável (e portanto tem derivadas parciais) em todo ponto fora da origem.

Passo 3

No ponto (0,0), usamos a definição de derivada parcial:
Para ∂f/∂x(0,0) calculamos
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto0h^3/(h^2+0)-0h=limhto0h^3/h^2h=limhto0hh=1
Para ∂f/∂y(0,0) calculamos
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00^3/(0+k^2)-0k=limkto00k=0
Ambos os limites existem e são finitos.

Passo 4

Concluímos que f possui derivadas parciais em todos os pontos de ℝ², inclusive na origem, onde ∂f/∂x(0,0)=1 e ∂f/∂y(0,0)=0.

Resposta

As derivadas parciais de f existem em todo o plano ℝ² (para (x,y)≠(0,0) por diferenciabilidade da expressão racional, e em (0,0) via limites), com ∂f/∂x(0,0)=1 e ∂f/∂y(0,0)=0.

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