Verifique em quais pontos as funçôes abaixo são possuem derivadas parciais
Passo 1
O enunciado pede para verificar em quais pontos de ℝ² a função f tem derivadas parciais. O conteúdo envolvido é definição de derivada parcial e uso de diferenciação de funções de duas variáveis. Vamos precisar do conceito de derivada parcial em pontos onde a função é dada por fórmula e da definição de derivada parcial via limite no ponto (0,0).
Passo 2
Para (x,y) ≠ (0,0), a função f(x,y)=x³/(x²+y²) é quociente de polinômios com denominador não nulo, logo é diferenciável (e portanto tem derivadas parciais) em todo ponto fora da origem.
Passo 3
No ponto (0,0), usamos a definição de derivada parcial:
Para ∂f/∂x(0,0) calculamos
Para ∂f/∂x(0,0) calculamos
Para ∂f/∂y(0,0) calculamos
Ambos os limites existem e são finitos.
Passo 4
Concluímos que f possui derivadas parciais em todos os pontos de ℝ², inclusive na origem, onde ∂f/∂x(0,0)=1 e ∂f/∂y(0,0)=0.
Resposta
As derivadas parciais de f existem em todo o plano ℝ² (para (x,y)≠(0,0) por diferenciabilidade da expressão racional, e em (0,0) via limites), com ∂f/∂x(0,0)=1 e ∂f/∂y(0,0)=0.