Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação no intervalo especificado:
raiz[3]x=x,(-1 / 2,1 / 2)

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que existe uma raiz da equação raiz[3]x=x no intervalo (-1/2,1/2) usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Para isso, vamos definir uma função contínua e verificar que ela muda de sinal nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=raiz[3]x-x
Essa função é contínua em R, pois tanto raiz[3]x quanto -x são contínuas.

Passo 3

Agora, avaliamos f nos pontos finais do intervalo e verificamos os sinais:
fl(-tfrac12r)=raiz[3]-tfrac12-l(-tfrac12r)=-2^-tfrac13+tfrac12<0
fl(tfrac12r)=raiz[3]tfrac12-tfrac12=2^-tfrac13-tfrac12>0

Passo 4

Como f é contínua em [-1/2,1/2] e temos f(-1/2)<0< f(1/2), pelo TVI existe pelo menos um cin(-1/2,1/2) tal que f(c)=0. Logo raiz[3]c=c. Resolvendo essa equação encontramos as raízes x=-1,0,1, sendo c=0 a única em (-1/2,1/2).

Resposta

0

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