1. Verifique que a função f: R^2 R definida por:
f(x, y)=l (x^2+y^2) sen(1raizx^2+y^2), se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
é diferenciável na origem, embora as derivadas parciais fx e fy sejam descontínuas.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= (x^2+y^2)sen!l(tfrac1raizx^2+y^2r),&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que f é diferenciável na origem, embora as derivadas parciais fx e fy sejam descontínuas. O conteúdo principal aqui é a definição de diferenciabilidade num ponto em R^2 e exame da continuidade das derivadas parciais.

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais em (0,0) por definição. Para partial f/partial x em (0,0) temos
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^2sen!l(tfrac1|h|r)h =limhto0h,sen!l(tfrac1|h|r)=0
Analogamente
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-0k =limkto0k,sen!l(tfrac1|k|r)=0
Logo as derivadas parciais em (0,0) existem e valem 0.

Passo 3

Para verificar a diferenciabilidade em (0,0), adotamos o candidato ao diferencial linear
L(h,k)=0cdot h+0cdot k=0
Precisamos checar que
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)raizh^2+k^2 =lim(h,k)to(0,0)(h^2+k^2)sen!l(tfrac1raizh^2+k^2r)raizh^2+k^2
Chamando r=raizh^2+k^2, isso é
limrto0r^2|sen(1/r)|r =limrto0r,|sen(1/r)|=0
Como o quociente tende a zero, f é diferenciável em (0,0) e seu diferencial é o mapa nulo.

Passo 4

Agora derivamos f em pontos (x,y)neq(0,0). Escrevendo r=raizx^2+y^2 e g(r)=r^2sen(1/r), pelo teorema da cadeia
fx=g'(r),partial rpartial x e fy=g'(r),partial rpartial y
Calculando
g'(r) =2rsen(1/r)+r^2cos(1/r)l(-tfrac1r^2r) =2rsen(1/r)-cos(1/r),
e como partial r/partial x=x/r, partial r/partial y=y/r, obtemos
fx(x,y)=l(2rsen(1/r)-cos(1/r)r)xr =2xsen(1/r)-xrcos(1/r),
fy(x,y)=2ysen(1/r)-yrcos(1/r)

Passo 5

Para ver que é descontínua em , aproximemo-nos pela reta . Então e
O termo quando , mas
faz oscilar entre e , sem limite quando . Logo não se aproxima de e é descontínua na origem.

Passo 6

De modo análogo, tomando x=0 na expressão de fy obtemos
fy(0,y) =2ysenl(1/|y|r)-y|y|cosl(1/|y|r),
que também oscila sem limite quando yto0. Assim fy é descontínua em (0,0).

Resposta

A função f é diferenciável em (0,0) com diferencial igual ao mapa nulo, mas as derivadas parciais fx e fy são descontínuas na origem.

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