- Verifique que a função
definida por:
é diferenciável na origem, embora as derivadas parciais
fx e
fy sejam descontínuas.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que
f é diferenciável na origem, embora as derivadas parciais
fx e
fy sejam descontínuas. O conteúdo principal aqui é a definição de diferenciabilidade num ponto em
R^2 e exame da continuidade das derivadas parciais.
Passo 2
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais em
(0,0) por definição. Para
partial f/partial x em
(0,0) temos
Analogamente
Logo as derivadas parciais em
(0,0) existem e valem
0 .
Passo 3
Para verificar a diferenciabilidade em
(0,0) , adotamos o candidato ao diferencial linear
Precisamos checar que
Chamando
r=raizh^2+k^2 , isso é
Como o quociente tende a zero,
f é diferenciável em
(0,0) e seu diferencial é o mapa nulo.
Passo 4
Agora derivamos
f em pontos
(x,y)neq(0,0) . Escrevendo
r=raizx^2+y^2 e
g(r)=r^2sen(1/r) , pelo teorema da cadeia
Calculando
e como
partial r/partial x=x/r ,
partial r/partial y=y/r , obtemos
Passo 5
Para ver que
é descontínua em
, aproximemo-nos pela reta
. Então
e
O termo
quando
, mas
faz oscilar entre e
, sem limite quando
. Logo
não se aproxima de
e é descontínua na origem.
faz oscilar entre
Passo 6
De modo análogo, tomando
x=0 na expressão de
fy obtemos
que também oscila sem limite quando
yto0 . Assim
fy é descontínua em
(0,0) .
Resposta
A função
f é diferenciável em
(0,0) com diferencial igual ao mapa nulo, mas as derivadas parciais
fx e
fy são descontínuas na origem.