Calcule integral duplaD y d A, onde D=(x, y) ;-1 <= x <= 1,0 <= y <= x+2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaD y,dA, onde a região D é definida por -1<= x<=1 e 0<= y<= x+2. O conteúdo aqui é integrais duplas vistas como integrais iteradas; vamos montar a integral em etapas.

Passo 2

Como x varia de -1 a 1 e, para cada x, y varia de 0 até x+2, escrevemos a integral dupla como
integral duplaD y,dA = integralx=-1^1 integraly=0^x+2 y,dy,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^x+2 y,dy = 12(x+2)^2
Assim a integral vira integral-1^1 12(x+2)^2,dx.

Passo 4

Expandindo o integrando e usando paridade:
12(x+2)^2 = 12x^2 + 2x + 2
Logo
integral-1^1 l(12x^2 + 2x + 2r),dx = 12integral-1^1x^2,dx + 2integral-1^1x,dx + 2integral-1^11,dx
Aqui integral-1^1x,dx=0, integral-1^1x^2,dx=2/3 e integral-1^11,dx=2.

Passo 5

Substituindo esses valores:
12cdot23 + 2cdot0 + 2cdot2 = 13 + 4 = 133

Resposta

13/3

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