Problema 3.55. Diga quais são as equações diofantinas a seguir que possuem pelo menos uma solução:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais das equações diofantinas
têm pelo menos uma solução inteira. O conteúdo necessário é a condição clássica: existe solução se, e somente se,
divide
.
Passo 2
Em geral, para
, definimos
. A condição de existência de solução é
Passo 3
Na equação (a),
. Calculamos
e
divide
. Logo, (a) tem solução.
Passo 4
Na equação (b),
. Calculamos
e
não divide
. Logo, (b) não tem solução.
Passo 5
Na equação (c),
. Calculamos
e
divide
. Logo, (c) tem solução.
Passo 6
Na equação (d),
. Calculamos
e
divide
. Logo, (d) tem solução.
Passo 7
Na equação (e),
. Calculamos
e
divide
. Logo, (e) tem solução.
Resposta
(a), (c), (d) e (e) possuem pelo menos uma solução inteira.