Problema 3.55. Diga quais são as equações diofantinas a seguir que possuem pelo menos uma solução:
(a) 3 x+5 y=223
(b) 5 x+15 y=33
(c) 2 x+16 y=2354
(d) 3 x+12 y=312
(e) 23 x+150 y=12354

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das equações diofantinas
a x + b y = c
têm pelo menos uma solução inteira. O conteúdo necessário é a condição clássica: existe solução se, e somente se, gcd(a,b) divide c.

Passo 2

Em geral, para ,a x + b y = c, definimos d = gcd(a,b). A condição de existência de solução é
d mid c

Passo 3

Na equação (a), 3x + 5y = 223. Calculamos
gcd(3,5) = 1
e 1 divide 223. Logo, (a) tem solução.

Passo 4

Na equação (b), 5x + 15y = 33. Calculamos
gcd(5,15) = 5
e 5 não divide 33. Logo, (b) não tem solução.

Passo 5

Na equação (c), 2x + 16y = 2354. Calculamos
gcd(2,16) = 2
e 2 divide 2354. Logo, (c) tem solução.

Passo 6

Na equação (d), 3x + 12y = 312. Calculamos
gcd(3,12) = 3
e 3 divide 312. Logo, (d) tem solução.

Passo 7

Na equação (e), 23x + 150y = 12354. Calculamos
gcd(23,150) = 1
e 1 divide 12354. Logo, (e) tem solução.

Resposta

(a), (c), (d) e (e) possuem pelo menos uma solução inteira.

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