Calcule
onde
é a região no primeiro quadrante fora da circunferência
e dentro do cardióide
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
é a região no primeiro quadrante entre a circunferência
(por fora) e o cardióide
(por dentro). O conteúdo principal aqui é integração dupla usando coordenadas polares, então vamos precisar da mudança
,
e do elemento de área
.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e
. Logo o integrando fica
. Além disso, o elemento de área é
. Com isso o integrando total vira
.
Passo 3
Precisamos também descrever a região
em polares. Como estamos no primeiro quadrante,
varia de
a
. E, para cada
,
vai da circunferência interna
até o cardióide externo
.
Passo 4
Assim a integral fica
Passo 5
Vamos primeiro integrar em
. Temos
que é igual a
Logo
Passo 6
Agora separamos em duas integrais:
Em ambas usamos a substituição
,
.
Para a primeira: dá . Para a segunda: dá
.
Para a primeira: dá
Passo 7
Somando as duas partes a gente encontra