Calcule integral duplaD yraizx^2+y^2 d A onde D é a região no primeiro quadrante fora da circunferência r=2 e dentro do cardióide r=2(1+cos theta).

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaD yraizx^2+y^2,dA, onde D é a região no primeiro quadrante entre a circunferência r=2 (por fora) e o cardióide r=2(1+costheta) (por dentro). O conteúdo principal aqui é integração dupla usando coordenadas polares, então vamos precisar da mudança x=rcostheta, y=rsintheta e do elemento de área dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos y=rsintheta e raizx^2+y^2=r. Logo o integrando fica rsinthetar=sintheta. Além disso, o elemento de área é dA=r,dr,dtheta. Com isso o integrando total vira sinthetacdot r=rsintheta.

Passo 3

Precisamos também descrever a região D em polares. Como estamos no primeiro quadrante, theta varia de 0 a tfracpi2. E, para cada theta, r vai da circunferência interna r=2 até o cardióide externo r=2(1+costheta).

Passo 4

Assim a integral fica
I=integral0^pi/2integral2^2(1+costheta)rsintheta,dr,dtheta

Passo 5

Vamos primeiro integrar em r. Temos
integral2^2(1+costheta)r,dr=gl[r^22gr]2^2(1+costheta)=tfrac12l(4(1+costheta)^2-4r)
que é igual a
2l((1+costheta)^2-1r)=4costheta+2cos^2theta
Logo
I=integral0^pi/2l(4costheta+2cos^2thetar)sintheta,dtheta

Passo 6

Agora separamos em duas integrais:
integral0^pi/24costhetasintheta,dtheta+integral0^pi/22cos^2thetasintheta,dtheta
Em ambas usamos a substituição u=costheta, du=-sintheta,dtheta.
Para a primeira: dá 2. Para a segunda: dá tfrac23.

Passo 7

Somando as duas partes a gente encontra
2+23=83

Resposta

83

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