Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde a região é o quadrado . Isso envolve cálculo de integrais duplas, especificamente sobre uma região retangular. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que pode ser escrita como uma integral iterada. Como é , podemos escrever:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 a 1, e depois em relação a de 0 a 1.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna . Note que pode ser tratado como uma constante em relação a . Então, temos:
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .
Portanto, a integral interna é:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 (e^y - 1) , dy = integral0^1 e^y , dy - integral0^1 1 , dy
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 5
Primeira parte:
integral0^1 e^y , dy = e^y |0^1 = e^1 - e^0 = e - 1