Calcule integral duplaR y e^x y d A onde R=[0,1] times[0,1].
(a) e
(b) e-1
© e-2
(d) e-3
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde a região é o quadrado . Isso envolve cálculo de integrais duplas, especificamente sobre uma região retangular. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que integral0^1 ( integral0^1 y e^xy , dx ) dy pode ser escrita como uma integral iterada. Como é , podemos escrever:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 a 1, e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna integral y e^xy , dx = y integral e^xy , dx . Note que y integral e^xy , dx = y cdot 1y integral e^u , du = integral e^u , du = e^u + C = e^xy + C pode ser tratado como uma constante em relação a integral0^1 y e^xy , dx = e^xy |0^1 = e^y - e^0 = e^y - 1 . Então, temos:
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .
Portanto, a integral interna é:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 (e^y - 1) , dy = integral0^1 e^y , dy - integral0^1 1 , dy
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Primeira parte:
integral0^1 e^y , dy = e^y |0^1 = e^1 - e^0 = e - 1
Segunda parte:
integral0^1 1 , dy = y |0^1 = 1 - 0 = 1

Passo 6

Agora, juntando as duas partes:
(e - 1) - 1 = e - 2

Resposta

A resposta correta é a alternativa © .

Exercícios relacionados