Seja R a região delimitada pelas retas x-2 y=1, x-2 y=4,2 x+y=1 e 2 x+y=3. Qual o valor de integral duplaR x-2 y2 x+y d A ? (Sugestão: use a mudança de variáveis u=x-2 y, v=2 x+y).
(a) ln 32
(B) 3 ln 32
© 3 ln 34
(d) ln 34
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região delimitada pelas retas , , e . A pergunta é para a gente calcular a integral dupla . Para resolver isso, vamos usar a mudança de variáveis sugerida: e . Vamos precisar entender como fazer essa mudança e calcular o determinante jacobiano para transformar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar de coordenadas usando u = x - 2y v = 2x + y e 2u = 2x - 4y . Precisamos expressar v - 2u = (2x + y) - (2x - 4y) = 5y Rightarrow y = v - 2u5 e u = x - 2(v - 2u5) u = x - 2v - 4u5 u = x - 2v5 + 4u5 u - 4u5 = x - 2v5 u5 = x - 2v5 x = u5 + 2v5 = u + 2v5 em termos de x = u + 2v5 y = v - 2u5 e .
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Agora, subtraindo isso da segunda equação:
Agora, substituindo na primeira equação:
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para mudar a integral de J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v para partial xpartial u = 15, partial xpartial v = 25 partial ypartial u = -25, partial ypartial v = 15 .
O jacobiano J = 15 & 25 -25 & 15 = (15 times 15) - (25 times -25) = 125 + 425 = 525 = 15 é:
Calculando as derivadas:
Então,
O valor absoluto do jacobiano é .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração na nova coordenada x - 2y = 1 Rightarrow u = 1 x - 2y = 4 Rightarrow u = 4 2x + y = 1 Rightarrow v = 1 2x + y = 3 Rightarrow v = 3 . As retas que delimitam são:
Então, varia de 1 a 4 e varia de 1 a 3.

Passo 5

Agora, vamos substituir na integral original:
integral duplaR x - 2y2x + y , dA = integral duplaR uv cdot |J| , du , dv = integral duplau=1^4 integralv=1^3 uv cdot 15 , dv , du
Vamos simplificar:
15 integralu=1^4 integralv=1^3 uv , dv , du

Passo 6

Primeiro, vamos resolver a integral interna em integralv=1^3 uv , dv = u integral1^3 1v , dv = u [ln v]1^3 = u (ln 3 - ln 1) = u ln 3 :
Como , simplifica para .

Passo 7

Agora, substituindo de volta na integral:
15 integralu=1^4 u ln 3 , du = ln 35 integral1^4 u , du
Calculando a integral em integral1^4 u , du = [ u^22 ]1^4 = 162 - 12 = 8 - 0,5 = 7,5 = 152 :

Passo 8

Agora, multiplicando tudo:
ln 35 times 152 = 15 ln 310 = 3 ln 32

Resposta

(Alternativa B)

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