Beleza, vamos lá! A gente tem uma região delimitada pelas retas , , e . A pergunta é para a gente calcular a integral dupla . Para resolver isso, vamos usar a mudança de variáveis sugerida: e . Vamos precisar entender como fazer essa mudança e calcular o determinante jacobiano para transformar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar de coordenadas usando e . Precisamos expressar e em termos de e .
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Agora, subtraindo isso da segunda equação:
Agora, substituindo na primeira equação:
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para mudar a integral de para .
O jacobiano é:
Calculando as derivadas:
Então,
O valor absoluto do jacobiano é .
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração na nova coordenada x - 2y = 1 Rightarrow u = 1 x - 2y = 4 Rightarrow u = 4 2x + y = 1 Rightarrow v = 1 2x + y = 3 Rightarrow v = 3 . As retas que delimitam são:
Então, varia de 1 a 4 e varia de 1 a 3.
Passo 5
Agora, vamos substituir na integral original:
integral duplaR x - 2y2x + y , dA = integral duplaR uv cdot |J| , du , dv = integral duplau=1^4 integralv=1^3 uv cdot 15 , dv , du
Vamos simplificar:
15 integralu=1^4 integralv=1^3 uv , dv , du
Passo 6
Primeiro, vamos resolver a integral interna em integralv=1^3 uv , dv = u integral1^3 1v , dv = u [ln v]1^3 = u (ln 3 - ln 1) = u ln 3 :
Como , simplifica para .
Passo 7
Agora, substituindo de volta na integral:
15 integralu=1^4 u ln 3 , du = ln 35 integral1^4 u , du
Calculando a integral em integral1^4 u , du = [ u^22 ]1^4 = 162 - 12 = 8 - 0,5 = 7,5 = 152 :