Qual o valor de integral0^1 integralraizy^1 e^x^3 d x d y ?
(a) e+13
(B) e-13
© e-1
(d) e+1
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente em integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e fazer uma substituição simples.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de até 1. Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem dos integrais. Assim, fixamos primeiro e determinamos os limites de em função de .

Passo 3

Com a ordem trocada, integral0^1 integral0^x^2 e^x^3 , dy , dx varia de 0 a 1. Para cada , varia de 0 até (já que é o inverso de ). Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, resolvemos a integral interna e^x^3 integral0^x^2 dy = e^x^3 cdot x^2 . Como não depende de , podemos simplificar:

Passo 5

Substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 e^x^3 cdot x^2 , dx
Aqui, percebemos que podemos usar uma substituição para facilitar. Vamos definir , então , ou seja, .

Passo 6

Fazendo a substituição, os limites de integração mudam:
  • Quando integral0^1 e^u cdot du3 = 13 integral0^1 e^u , du ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, é simples integrar 13 [ e^u ]0^1 = 13 (e^1 - e^0) = 13 (e - 1) em relação a :

Resposta

A resposta correta é a opção (B) .

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