Qual o valor de
?
(a)
(B)
©
(d)
(e) NRA
(a)
(B)
©
(d)
(e) NRA
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente em integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e fazer uma substituição simples.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
até 1. Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem dos integrais. Assim, fixamos
primeiro e determinamos os limites de
em função de
.
Passo 3
Com a ordem trocada,
varia de 0 a 1. Para cada
,
varia de 0 até
(já que
é o inverso de
). Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, resolvemos a integral interna
. Como
não depende de
, podemos simplificar:
Passo 5
Substituímos de volta na integral externa:
Aqui, percebemos que podemos usar uma substituição para facilitar. Vamos definir
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Fazendo a substituição, os limites de integração mudam:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, é simples integrar
em relação a
:
Resposta
A resposta correta é a opção (B)
.