Qual das integrais abaixo representa o volume do sólido localizado no primeiro octante compreendido entre os cilindros
e
?
(a)
(b)
©
(D)
(e) NRA
(a)
(b)
©
(D)
(e) NRA
Passo 1
Beleza! A questão está pedindo para identificar qual das integrais dadas representa o volume de um sólido no primeiro octante (onde
,
e
são positivos) que está entre os cilindros
e
. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas cartesianas, definindo bem os limites de integração para a região descrita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os cilindros:
-
é um cilindro circular que se estende ao longo do eixo . -
é um cilindro circular que se estende ao longo do eixo .
Como estamos no primeiro octante, sabemos que
,
e
variam de 0 a algo positivo.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração:
- Para
: Como os cilindros têm raio 1, varia de 0 a 1. - Para
: Para um valor fixo de , varia de 0 até (vindo do cilindro ). - Para
: Para o mesmo valor de , também varia de 0 até (vindo do cilindro ).
Passo 4
Com esses limites, a integral que representa o volume é:
Resposta
A alternativa correta é a (D):