Qual das integrais abaixo representa o volume do sólido localizado no primeiro octante compreendido entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+z^2=1 ?
(a) integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^1 raiz1-y^2 d z d x d y
(b) integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-z^2 d z d y d x
© integral0^1 integral0^raiz1-y^2 integral0^raiz1-z^2 d z d x d y
(D) integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2 d z d y d x
(e) NRA

Passo 1

Beleza! A questão está pedindo para identificar qual das integrais dadas representa o volume de um sólido no primeiro octante (onde , e são positivos) que está entre os cilindros e . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas cartesianas, definindo bem os limites de integração para a região descrita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os cilindros:
  • é um cilindro circular que se estende ao longo do eixo .
  • é um cilindro circular que se estende ao longo do eixo .
Como estamos no primeiro octante, sabemos que , e variam de 0 a algo positivo.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração:
  1. Para : Como os cilindros têm raio 1, varia de 0 a 1.
  2. Para : Para um valor fixo de , varia de 0 até (vindo do cilindro ).
  3. Para : Para o mesmo valor de , também varia de 0 até (vindo do cilindro ).

Passo 4

Com esses limites, a integral que representa o volume é:
integral0^1 integral0^raiz1 - x^2 integral0^raiz1 - x^2 dz , dy , dx

Resposta

A alternativa correta é a (D):
integral0^1 integral0^raiz1 - x^2 integral0^raiz1 - x^2 dz , dy , dx

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