Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla sobre a região . Isso significa que estamos integrando a função para entre 1 e 4, e para entre 0 e 3. Além disso, sabemos que a integral de em relação a de 0 a 3 é igual a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais iteradas, ou seja, calcular a integral dupla como uma sequência de integrais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada. Isso significa que podemos calcular a integral em primeiro e depois em , ou vice-versa. Aqui, já sabemos a integral em , então vamos aproveitar isso. Portanto, temos:
Passo 3
Substituindo o valor que a questão nos deu, sabemos que . Então, podemos substituir isso na expressão acima:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral simples . Isso é uma integral básica de uma função polinomial. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.