Suponha que integral0^3 f(x, y) d y=2 x. Se R=[1,4] times[0,3], então qual o valor de integral duplaR f(x, y) d A ?
(A) 15
(b) 16
© 18
(d) 21
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla sobre a região . Isso significa que estamos integrando a função para entre 1 e 4, e para entre 0 e 3. Além disso, sabemos que a integral de em relação a de 0 a 3 é igual a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais iteradas, ou seja, calcular a integral dupla como uma sequência de integrais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral dupla integral duplaR f(x, y) , dA = integralx=1^4 ( integraly=0^3 f(x, y) , dy ) dx pode ser escrita como uma integral iterada. Isso significa que podemos calcular a integral em primeiro e depois em , ou vice-versa. Aqui, já sabemos a integral em , então vamos aproveitar isso. Portanto, temos:

Passo 3

Substituindo o valor que a questão nos deu, sabemos que integral duplaR f(x, y) , dA = integral1^4 2x , dx . Então, podemos substituir isso na expressão acima:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral simples integral 2x , dx = x^2 + C . Isso é uma integral básica de uma função polinomial. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 5

Vamos aplicar os limites de integração de 1 a 4:
x^2 |1^4 = (4)^2 - (1)^2 = 16 - 1 = 15

Resposta

O valor de é 15.

Exercícios relacionados