Calcule a integral integral duplaR raizx^2+y^2 d A, sendo R o círculo de centro na origem e raio 2 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR raizx^2+y^2,dA
onde R é o disco de centro na origem e raio 2. O conteúdo aqui é o uso de coordenadas polares para simplificar a região e o elemento de área.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
e a integranda fica
raizx^2+y^2 = raizr^2 = r
A região R vira
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Substituindo, a integral torna-se
integral0^2piintegral0^2 rcdot r,dr,dtheta =integral0^2piintegral0^2 r^2,dr,dtheta
Calcular primeiro em r:
integral0^2 r^2,dr=[r^33]0^2=83

Passo 4

Agora integrar em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando os resultados, obtemos
integral duplaRraizx^2+y^2,dA =2picdot83=16pi3

Resposta

16pi3

Exercícios relacionados