Seja
a região plana limitada por
e
. Se a densidade é
, (
), então a massa e o centro de massa de
são dados, respectivamente por:
Escolha uma opção:
a.
e
b.
e
c.
e
d.
e
e. Nenhuma das Respostas
a.
b.
c.
d.
e. Nenhuma das Respostas
Passo 1
O enunciado pede massa e centro de massa da região R limitada por y=arcsin(x), y=arcsin(–x) e x=–1, com densidade constante ρ(x,y)=k. Vamos usar integrais duplas em coordenadas cartesianas e explorar a simetria em y.
Passo 2
Para a massa, escrevemos
Calculamos
e então
Logo
Passo 3
Para a abscissa do centro de massa x_c, usamos
Fazemos integração por partes em I=∫_{-1}^0 x arcsin(x) dx: u=arcsin(x), dv=x dx.
Passo 4
Pela integração por partes,
Chamando J=∫_{-1}^0 x2/√{1-x2} dx e fazendo x=sin(t), t∈[-π/2,0], obtemos
Assim
e
Passo 5
Por simetria em y, y_c=0. Concluímos que
massa = (π-2)k e centro de massa = (–π/(4π–8), 0). Isso corresponde à opção a.
massa = (π-2)k e centro de massa = (–π/(4π–8), 0). Isso corresponde à opção a.
Resposta
A massa é
e o centro de massa é
, opção a.