Seja R a região plana limitada por y=arcsin (x), y=arcsin (-x) e x=-1. Se a densidade é rho(x, y)=k, ( k>0 ), então a massa e o centro de massa de R são dados, respectivamente por:
Escolha uma opção:
a. (pi-2) k e (-pi4 pi-8, 0)
b. (pi-2) k e (pi4 pi-8, 0)
c. (pi-2) k e (-pi4 pi+8, 0)
d. (pi+2) k e (pi4 pi-8, 0)
e. Nenhuma das Respostas

Passo 1

O enunciado pede massa e centro de massa da região R limitada por y=arcsin(x), y=arcsin(–x) e x=–1, com densidade constante ρ(x,y)=k. Vamos usar integrais duplas em coordenadas cartesianas e explorar a simetria em y.

Passo 2

Para a massa, escrevemos
m = integral duplaR k,dA = kintegralx=-1^0 integraly=arcsin(x)^y=-arcsin(x) dy,dx = kintegral-1^0l(-2arcsin(x)r),dx = -2kintegral-1^0arcsin(x),dx
Calculamos
integral arcsin(x),dx = xarcsin(x) + raiz1-x^2 + C,
e então
integral-1^0arcsin(x),dx = l[ xarcsin(x) + raiz1-x^2r]-1^0 = 1 - pi2
Logo
m = -2kl(1-pi2r) = k(pi - 2)

Passo 3

Para a abscissa do centro de massa x_c, usamos
xc = 1mintegral duplaR x,ρ,dA = kk(pi-2)integral-1^0 xl(-2arcsin(x)r),dx = -2pi-2integral-1^0 xarcsin(x),dx
Fazemos integração por partes em I=∫_{-1}^0 x arcsin(x) dx: u=arcsin(x), dv=x dx.

Passo 4

Pela integração por partes,
I = integral-1^0 xarcsin(x),dx = l[tfracx^22arcsin(x)r]-1^0 - tfrac12integral-1^0x^2raiz1-x^2,dx
Chamando J=∫_{-1}^0 x2/√{1-x2} dx e fazendo x=sin(t), t∈[-π/2,0], obtemos
J = integral-pi/2^0sin^2(t),dt = pi4
Assim
I = pi4 - 12cdot pi4 = pi8,
e
xc = -2pi-2cdot pi8 = -pi4(pi-2) = -pi4pi-8

Passo 5

Por simetria em y, y_c=0. Concluímos que
massa = (π-2)k e centro de massa = (–π/(4π–8), 0). Isso corresponde à opção a.

Resposta

A massa é (pi-2)k e o centro de massa é l(-tfracpi4pi-8,0r), opção a.

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