Calcule a integral integral duplaR y sen(x y) d A, onde R=[1,2] times[0, pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR ysen(xy),dA no retângulo R=[1,2]times[0,pi]. O conteúdo é integração dupla via integrais iteradas, e vamos usar substituição para a integral interna e integração por partes na externa.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada:
integral duplaR ysen(xy),dA = integral1^2integral0^pi ysen(xy),dy,dx

Passo 3

Para calcular integral0^piysen(xy),dy, fazemos a mudança de variável u=xy, du=x,dy, y=u/x. A integral vira
1x^2integral0^xpitsen(t),dt
e usando integral tsen(t),dt=-tcos t+sin t, chegamos a
integral0^piysen(xy),dy =1x^2l[-tcos t+sin tr]0^xpi =-picos(xpi)x+sin(xpi)x^2

Passo 4

Substituindo na integral externa, obtemos
integral1^2l(-picos(xpi)x+sin(xpi)x^2r),dx =-piintegral1^2cos(xpi)x,dx+integral1^2sin(xpi)x^2,dx
Na segunda parcela, aplicamos integração por partes com u=sin(xpi), dv=x^-2dx, o que dá integral1^2sin(xpi)x^2,dx=piintegral1^2cos(xpi)x,dx. Logo, as duas parcelas se cancelam.

Resposta

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