Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
integral0^pi / 4 integral0^2 pi integral0^3 sec phi rho^2 sen phi d rho d theta d phi

Passo 1

O enunciado nos dá a integral em coordenadas esféricas
integralphi=0^pi/4integraltheta=0^2piintegralrho=0^3secphirho^2sinphi,drho,dtheta,dphi
e pede (a) esboçar o sólido cujo volume está sendo computado e (b) calcular esse volume. Para isso vamos usar a interpretação geométrica dos limites em esféricas e depois executar a integração em ordem rho, theta, phi.

Passo 2

Identificamos a região E em coordenadas cartesianas via
0<=phi<=pi/4, 0<=theta<=2pi, 0<=rho<=3secphi
Como em coordenadas esféricas z=rhocosphi, a condição rho<=3secphi é equivalente a
z=rhocosphi<=3
E phi<=pi/4 significa que pontos de E ficam acima do cone de semi-ângulo pi/4, isto é, z>=raizx^2+y^2.
Logo E é o sólido delimitado pelo plano z=3 acima, pelo cone z=raizx^2+y^2 abaixo, e pelo giro completo em theta.

Passo 3

Integramos primeiro em rho:
integral0^3secphirho^2,drho =[rho^33]0^3secphi =13(3secphi)^3 =9sec^3phi
A integral passa a ser
integral0^2pidtheta;integral0^pi/49sec^3phi,sinphi,dphi

Passo 4

O fator em theta 2pi, e em phi temos
9integral0^pi/4sec^3phi,sinphi,dphi =9integral0^pi/4sinphicos^3phi,dphi =9integral0^pi/4tanphi,sec^2phi,dphi
Fazendo u=tanphi, du=sec^2phi,dphi, com u(0)=0, u(pi/4)=1, obtemos
9integralu=0^1u,du =9[u^22]0^1 =92
Multiplicando pelo 2pi de theta
V=2picdot92=9pi

Resposta

O sólido é a região acima do cone de semi-ângulo pi/4 e abaixo do plano z=3, com giro completo em theta.
O volume vale 9pi.

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