Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral em coordenadas esféricas
e pede (a) esboçar o sólido cujo volume está sendo computado e (b) calcular esse volume. Para isso vamos usar a interpretação geométrica dos limites em esféricas e depois executar a integração em ordem
,
,
.
Passo 2
Identificamos a região
em coordenadas cartesianas via
Como em coordenadas esféricas
, a condição
é equivalente a
E
significa que pontos de
ficam acima do cone de semi-ângulo
, isto é,
.
Logo é o sólido delimitado pelo plano
acima, pelo cone
abaixo, e pelo giro completo em
.
Logo
Passo 3
Integramos primeiro em
:
A integral passa a ser
Passo 4
O fator em
dá
, e em
temos
Fazendo
,
, com
,
, obtemos
Multiplicando pelo
de
dá
Resposta
O sólido é a região acima do cone de semi-ângulo
e abaixo do plano
, com giro completo em
.
O volume vale .
O volume vale