Sabendo que Lf^prime(t)=s Lf(t)-f(0) e que
La y^prime+b y=a Ly^prime+b Ly
Resolva os PVI’s abaixo
y^prime+6 y=e^4 t, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'(t) + 6,y(t) = e^4t, y(0)=2
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
Ly'=s,Y(s)-y(0) e Le^4t=1s-4.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados de
y'(t) + 6,y(t) = e^4t
temos, pela linearidade,
Ly' + 6,Ly = Le^4t
Substituindo Ly'=sY(s)-y(0) e Le^4t=1s-4 e y(0)=2, resulta
l(s,Y(s)-2r) + 6,Y(s) = 1s-4

Passo 3

Agrupando termos em Y(s):
(s+6),Y(s) - 2 = 1s-4 Longrightarrow (s+6),Y(s) = 2 + 1s-4
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Y(s) = 2s+6 ;+; 1(s-4)(s+6)

Passo 4

Fazendo fração parcial em 1(s-4)(s+6): suponha
1(s-4)(s+6) = As-4 + Bs+6
Multiplicando por (s-4)(s+6) obtemos
1 = A(s+6) + B(s-4)
Tomando s=4 1 = Acdot10, ou seja A=tfrac110. Tomando s=-6 1=Bcdot(-10), ou seja B=-tfrac110. Assim
Y(s) = 2s+6 + 1/10s-4 - 1/10s+6 = 110,1s-4 + 1910,1s+6

Passo 5

Agora invertendo a transformada de Laplace:
L^-1ltfrac1s-4r = e^4t, L^-1ltfrac1s+6r = e^-6t
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y(t) = 110,e^4t + 1910,e^-6t

Resposta

y(t) = 110,e^4t + 1910,e^-6t

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