Calcule as seguintes integrais
integral1^2 x^3-2 x^2-4x^3+2 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^2 x^3-2,x^2-4x^3+2,x^2;dx
O conteúdo utilizado será divisão de polinômios seguida de decomposição em frações parciais e, por fim, a integração termo a termo.

Passo 2

Fazemos a divisão do numerador pelo denominador. Note que
x^3-2x^2-4x^3+2x^2 =1+l(x^3-2x^2-4r)-l(x^3+2x^2r)x^3+2x^2 =1-4,(x^2+1)x^2,(x+2)

Passo 3

Decompondo
x^2+1x^2(x+2)=Ax+Bx^2+Cx+2,
temos
x^2+1 = A,x(x+2)+B,(x+2)+C,x^2 = (A+C),x^2+(2A+B),x+2B
Igualando coeficientes surge o sistema
A+C=1, 2A+B=0, 2B=1,
cuja solução é B=tfrac12, A=-tfrac14, C=tfrac54. Logo
x^2+1x^2(x+2) =-14x+12x^2+54(x+2)
Multiplicando por -4 e somando 1 obtemos
x^3-2x^2-4x^3+2x^2 =1+1x-2x^2-5x+2

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
integral l(1+1x-2x^2-5x+2r),dx =x+ln|x|+2x-5ln|x+2|+C

Passo 5

Avaliamo entre 1 e 2:
l[x+ln x+2x-5ln(x+2)r]1^2 =l(2+ln2+1-5ln4r)-l(1+0+2-5ln3r) =5ln3-9ln2

Resposta

5ln3 - 9ln2

Exercícios relacionados