Calcule as seguintes integrais
integral 3 x-2(x+5)(x-2) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral 3x-2(x+5)(x-2),dx
Este é um problema de integração de função racional. Vamos usar decomposição em frações parciais para reescrever o integrando como soma de termos do tipo tfrac1x+a, que são imediatos de integrar.

Passo 2

Assumimos
3x-2(x+5)(x-2) ;=;Ax+5 ;+;Bx-2
Multiplicando ambos os lados por (x+5)(x-2), obtemos
3x-2 ;=;A(x-2)+B(x+5) ;=;(A+B)x+(-2A+5B)

Passo 3

Igualando coeficientes de
Resolvendo, de (A=3-B] segue

e então

Passo 4

Substituindo na integral,
integral 3x-2(x+5)(x-2),dx =integraltfrac177x+5,dx +integraltfrac47x-2,dx =177integraldxx+5+47integraldxx-2

Passo 5

As integrais são logaritmos naturais:
integraldxx+5=lnlvert x+5rvert, integraldxx-2=lnlvert x-2rvert
Logo o resultado é
177lnlvert x+5rvert +47lnlvert x-2rvert +C

Resposta

177lnllvert x+5rrvert +47lnllvert x-2rrvert +C

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