Calcule a integral
integral duplaR(x^3+2 y x^2-4 x y^2-8 y^3) d A
onde A é a região delimitada por
x^2-4 y^2=-4, x^2-4 y^2=4, x+2 y=2, e x+2 y=4
Dica: Utilize a mudança de variáveis
x=u+v2 e y=u-v4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRl(x^3+2yx^2-4xy^2-8y^3r),dA
onde R é a região limitada pelas curvas
x^2-4y^2=-4, x^2-4y^2=4, x+2y=2, x+2y=4
O conteúdo principal é usar uma mudança de variáveis (x,y)mapsto(u,v), encontrar o Jacobiano, reescrever o integrando e a região em termos de u,v, e então calcular a integral.

Passo 2

Usamos
x=u+v2, y=u-v4
Então
x+2y=u+v2+u-v2=u,
logo as retas viram
u=2, u=4
E
x^2-4y^2 =(u+v)^24-4cdot(u-v)^216 =(u+v)^2-(u-v)^24 =4uv4=uv,
logo as hipérboles viram
uv=-4, uv=4,
de modo que a nova região R^* em (u,v) é
2<= u<=4, -4u<= v<=4u

Passo 3

Reescrevendo o integrando em u,v:
com x=(u+v)/2 e y=(u-v)/4, faz-se
x^3+2yx^2-4xy^2-8y^3 =18l[(u+v)^3+(u-v)(u+v)^2-(u+v)(u-v)^2-(u-v)^3r] =u^2v

Passo 4

O Jacobiano é
J=det partial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v =det 1/2 & 1/2 1/4 & -1/4 =-tfrac14,
portanto lvert Jrvert=tfrac14 e
dA=tfrac14,du,dv
Assim a integral vira
integral duplaRf,dA =integral duplaR^*u^2v;14,du,dv =14integralu=2^4!integralv=-4/u^4/uu^2v,dv,du

Passo 5

Para cada u fixo,
integralv=-4/u^4/uv,dv=0
por simetria do integrando ímpar em v. Logo toda a integral vale
14integral2^4!u^2cdot0,du=0

Resposta

O valor da integral é 0.

Exercícios relacionados