Seja f: R^3 backslash0 R dada por f(x, y)=zraizx^2+y^2. Calcule a integral
integral duplaR f d A
onde R é a região delimitada pelas superfícies
S1=(x, y, z) in R^3, x^2+y^2+z^2=9, z >= 0 e S2=(x, y, z) in R^3, z=18-2(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral triplaVzraizx^2+y^2,dV
onde Vsubset R^3 é a região de volume limitada pelas duas superfícies
S1:;x^2+y^2+z^2=9,;z>=0 e S2:;z=18-2(x^2+y^2)
O método mais direto é usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), em que
x=rcostheta, y=rsintheta, dV=r,dr,dtheta,dz,
e a função no integrando fica
zraizx^2+y^2 = zr

Passo 2

Precisamos descrever a região V em coordenadas cilíndricas. As duas superfícies se escrevem
S1:;z=raiz9-r^2, S2:;z=18-2r^2
Para existir um “canal” entre elas, devemos ter S2>= S1 ou S1>= S2. Observando em r=0 que 18>3, a superfície parabólica está acima da semiesfera para r pequeno, e elas se intersectam resolvendo
raiz9-r^2 ;=;18-2r^2 ;Longrightarrow; 4r^4-71r^2+315=0 ;Longrightarrow; r^2=354(r>=0)
Logo o “tubo” de volume fica para
0<= r<= raiztfrac354, 0<=theta<=2pi, raiz9-r^2;<= z;<=;18-2r^2

Passo 3

Escrevendo o integral em cilíndricas temos
integral triplaVzraizx^2+y^2,dV = integraltheta=0^2pi! integralr=0^raiz35/2 integralz=raiz9-r^2^,18-2r^2 zr;r,dz,dr,dtheta = integral0^2pi! integral0^raiz35/2 integralraiz9-r^2^,18-2r^2 z,dz,dr,dtheta

Passo 4

Calcule primeiro a integral em z:
integralraiz9-r^2^,18-2r^2 z,dz = 12l[(18-2r^2)^2-(9-r^2)r] = 12l(4r^4-71r^2+315r)
Logo o integral reduz a
integral0^2pidtheta integral0^raiz35/2 12l(4r^4-71r^2+315r),dr = 2picdot12 integral0^raiz35/2!(4r^4-71r^2+315),dr

Passo 5

Executando o integral em r:
integral0^raiz35/2(4r^4-71r^2+315),dr = l[tfrac45r^5-tfrac713r^3+315rr]0^raiz35/2
Chamando a=raiz35/2, temos
r^2= 354,; r^3 = 35raiz358,; r^5=35^2raiz3532,
então
integral0^a(4r^4-71r^2+315),dr =45cdot35^2raiz3532 -713cdot35raiz358 +315cdotraiz352
Agrupando e simplificando, chega-se a
integral0^a(4r^4-71r^2+315),dr =89425192raiz35
Multiplicando por pi (vindo dos 2picdot12), o resultado final é

Resposta

integral triplaVzraizx^2+y^2,dV =89425pi192

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