Seja
dada por
. Calcule a integral
onde
é a região delimitada pelas superfícies
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a região de volume limitada pelas duas superfícies
O método mais direto é usar coordenadas cilíndricas
, em que
e a função no integrando fica
Passo 2
Precisamos descrever a região
em coordenadas cilíndricas. As duas superfícies se escrevem
Para existir um “canal” entre elas, devemos ter
ou
. Observando em
que
, a superfície parabólica está acima da semiesfera para
pequeno, e elas se intersectam resolvendo
Logo o “tubo” de volume fica para
Passo 3
Escrevendo o integral em cilíndricas temos
Passo 4
Calcule primeiro a integral em
:
Logo o integral reduz a
Passo 5
Executando o integral em
:
Chamando
, temos
então
Agrupando e simplificando, chega-se a
Multiplicando por
(vindo dos
), o resultado final é