Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial
d^2 yd t^2+p(t) d yd t+q(t) y=f(t), y(t0)=y0, d yd t(t0)=z0
onde p, q e f são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém o ponto t0, então existe uma única solução para o problema de valor inicial, y=phi(t) definida para todo t in I].
Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única,
y^prime prime(t)+ln (|t+1|) y^prime(t)-raiz4-t^2 y(t)=0, y(0)=1, y^prime(0)=3.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
d^2ydt^2+lnl(|t+1|r),dydt-raiz4-t^2;y=0, y(0)=1,;y'(0)=3
e pede o maior intervalo aberto I contendo t0=0 em que, pelas hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade, as funções
p(t)=lnl(|t+1|r), q(t)=-raiz4-t^2, f(t)=0
são contínuas, garantindo solução única em I.

Passo 2

Analisamos a continuidade de cada função:
  1. p(t)=lnl(|t+1|r) exige t+1neq0, logo é contínua para tneq -1.
  2. q(t)=-raiz4-t^2 exige 4-t^2>=0, ou seja -2<= t<=2; é contínua em todo [-2,2].
  3. f(t)=0 é contínua em R.

Passo 3

O domínio comum em que p,q,f são contínuas é
tmid -2<= t<=2setminus-1 =l[-2,-1r)cupl(-1,2r]
Como precisamos de um intervalo aberto que contenha 0, e 0in(-1,2), o maior intervalo aberto possível é
(-1,2)

Resposta

(-1,2)

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