Mostre que as funções
e
são linearmente independentes em
se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
são linearmente independentes em
, usando a definição de independência linear: se uma combinação
implica
, então as funções são independentes.
Passo 2
Suponha que existam constantes
tais que
Passo 3
Como
para todo
, podemos dividir ambos os lados por
e obter
Passo 4
Escolhendo
nessa última igualdade, temos
e
, logo
Passo 5
Com
, a equação reduz-se a
Como
, existe pelo menos um
(por exemplo
) para o qual
. Isso obriga
Resposta
As únicas constantes que anulam
para todo
são
e
. Portanto,
e
são linearmente independentes em
sempre que
.