Mostre que as funções e^alpha x cos (beta x) e e^alpha x sin (beta x) são linearmente independentes em R se beta neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
f1(x)=e^alpha xcos(beta x) e f2(x)=e^alpha xsin(beta x)
são linearmente independentes em R, usando a definição de independência linear: se uma combinação
c1f1(x)+c2f2(x)=0 forall xinR
implica c1=c2=0, então as funções são independentes.

Passo 2

Suponha que existam constantes c1,c2 tais que
c1,e^alpha xcos(beta x)+c2,e^alpha xsin(beta x)=0 forall xinR

Passo 3

Como e^alpha xneq0 para todo x, podemos dividir ambos os lados por e^alpha x e obter
c1cos(beta x)+c2sin(beta x)=0 forall xinR

Passo 4

Escolhendo x=0 nessa última igualdade, temos cos(0)=1 e sin(0)=0, logo
c1cdot1 + c2cdot0 = 0 Longrightarrow c1 = 0

Passo 5

Com c1=0, a equação reduz-se a
c2sin(beta x)=0 forall xinR
Como betaneq0, existe pelo menos um x (por exemplo x=tfracpi2beta) para o qual sin(beta x)neq0. Isso obriga
c2=0

Resposta

As únicas constantes que anulam c1f1(x)+c2f2(x) para todo x são c1=0 e c2=0. Portanto, e^alpha xcos(beta x) e e^alpha xsin(beta x) são linearmente independentes em R sempre que betaneq0.

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