Coordenadas parabólicas são definidas pelas transformações
(a) Defina os versores e como aqueles que apontam nas direções de crescimento das respectivas variáveis. (Tais versores são os vetores são normalizados.)
(b) Calcule o jacobiano e o elemento de volume nessas coordenadas.
(c) Calcule as transformações inversas e .
(d) Calcule a métrica em coordenadas parabólicas. A métrica é ortogonal?
(e) Calcule os fatores de escala e .
(f) Calcule o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano nessas coordenadas.
(g) Tal sistema de coordenadas é dextrógiro ou levógiro?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre coordenadas parabólicas! O enunciado apresenta as fórmulas de transformação dessas coordenadas em termos de , e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como versores, jacobiano, elemento de volume, transformações inversas, métricas, fatores de escala e operadores diferenciais. Cada parte do exercício vai exigir um passo diferente, então vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Definir os versores , e
Para definir os versores nas direções de crescimento das variáveis , e , usamos as derivadas parciais do vetor posição em relação a cada coordenada, normalizadas.
Primeiro, escrevemos o vetor posição:
Com as transformações dadas:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Para :
Normalizamos:
Para :
Normalizamos:
Para :
Normalizamos:
Os fatores , e são os fatores de escala que iremos calcular na parte (e).
Passo 3
Parte (b): Calcular o jacobiano e o elemento de volume
O jacobiano representa a determinante da matriz das derivadas parciais das coordenadas cartesianas em relação às coordenadas parabólicas.
Calculamos o jacobiano:
Substituindo as derivadas:
J = det v cos theta & u cos theta & -u v sin theta v sin theta & u sin theta & u v cos theta u & -v & 0
Calculando o determinante, obtemos:
J = (v cos theta)(u sin theta cdot 0 - u v cos theta cdot (-v)) - (u cos theta)(v sin theta cdot 0 - u v cos theta cdot u) + (-u v sin theta)(v sin theta cdot (-v) - u sin theta cdot u)
Simplificamos e encontramos:
J = u v (u^2 + v^2)
O elemento de volume dV em coordenadas parabólicas é dado por:
dV = J , du , dv , dtheta = u v (u^2 + v^2) , du , dv , dtheta
Passo 4
Parte (c): Calcular as transformações inversas u = u(x, y, z) , v = v(x, y, z) e theta = theta(x, y, z)
Para encontrar as transformações inversas, expressamos u , v e theta em termos de x , y e z .
Parte (d): Calcular a métrica em coordenadas parabólicas e verificar se é ortogonal
A métrica em coordenadas curvilíneas é determinada pelo tensor métrico gij , que, para coordenadas ortogonais, possui elementos não nulos apenas na diagonal.
Calculamos os fatores de escala hu , hv e htheta (já vão ser detalhados na parte (e)), e a métrica será:
ds^2 = hu^2 du^2 + hv^2 dv^2 + htheta^2 dtheta^2
Como não há termos cruzados (como du dv , etc.), a métrica é ortogonal.
Passo 6
Parte (e): Calcular os fatores de escala hu , hv e htheta
Os fatores de escala são as normas das derivadas parciais do vetor posição em relação a cada coordenada.
Para hu :
hu = | partial rpartial u | = raiz(v cos theta)^2 + (v sin theta)^2 + u^2 = raizv^2 + u^2
Para hv :
hv = | partial rpartial v | = raiz(u cos theta)^2 + (u sin theta)^2 + v^2 = raizu^2 + v^2
Para htheta :
htheta = | partial rpartial theta | = raiz(-u v sin theta)^2 + (u v cos theta)^2 = u v
Passo 7
Parte (f): Calcular o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano nessas coordenadas
Para coordenadas ortogonais, as expressões dos operadores diferenciais são:
Gradiente de uma função f(u, v, theta) :
nabla f = 1hu partial fpartial u , u + 1hv partial fpartial v , v + 1htheta partial fpartial theta , theta
Divergente de um vetor A = Au u + Av v + Atheta theta :
nabla times A = 1hv htheta [ partialpartial v(htheta Atheta) - partialpartial theta(Av htheta) ] u + 1htheta hu [ partialpartial theta(Au hu) - partialpartial u(htheta Atheta) ] v + 1hu hv [ partialpartial u(Av hv) - partialpartial v(Au hu) ] theta
Laplaciano de uma função f(u, v, theta) :
nabla^2 f = 1hu hv htheta [ partialpartial u( hv hthetahu partial fpartial u ) + partialpartial v( hu hthetahv partial fpartial v ) + partialpartial theta( hu hvhtheta partial fpartial theta ) ]
Substituindo os fatores de escala encontrados:
hu = hv = raizu^2 + v^2, htheta = u v
As expressões específicas podem ser derivadas conforme a necessidade.
Passo 8
Parte (g): Determinar se o sistema de coordenadas é dextrógiro ou levógiro
Um sistema de coordenadas é chamado de dextrógiro se a base (u, v, theta) segue a regra da mão direita, e levógiro se segue a regra da mão esquerda.
Para verificar, calculamos o produto vetorial:
u times v = theta
Como u times v aponta na direção de theta , seguindo a regra da mão direita, o sistema é dextrógiro.
Resposta
Resumindo, definimos os versores u, v e theta nas direções das coordenadas parabólicas, calculamos o jacobiano J = u v (u^2 + v^2) e o elemento de volume dV = u v (u^2 + v^2) , du , dv , dtheta . As transformações inversas foram encontradas em termos de x , y e z , e a métrica do sistema é ortogonal. Os fatores de escala são hu = hv = raizu^2 + v^2 e htheta = u v . Calculamos os operadores diferenciais (gradiente, divergente, rotacional e laplaciano) para esse sistema, e finalmente, determinamos que o sistema de coordenadas é dextrógiro.