Coordenadas parabólicas são definidas pelas transformações
x(u, v, theta) & =u v cos theta y(u, v, theta) & =u v sin theta z(u, v, theta) & =12(u^2-v^2), u in[0, infty), v in[0, infty), theta in[0,2 pi)
(a) Defina os versores u, v e theta como aqueles que apontam nas direções de crescimento das respectivas variáveis. (Tais versores são os vetores são eu=partial rpartial u, ev=partial rpartial v, etheta=partial rpartial theta normalizados.)
(b) Calcule o jacobiano e o elemento de volume d V nessas coordenadas.
(c) Calcule as transformações inversas u=u(x, y, z), v=v(x, y, z) e theta=theta(x, y, z).
(d) Calcule a métrica em coordenadas parabólicas. A métrica é ortogonal?
(e) Calcule os fatores de escala hu, hv e htheta.
(f) Calcule o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano nessas coordenadas.
(g) Tal sistema de coordenadas é dextrógiro ou levógiro?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre coordenadas parabólicas! O enunciado apresenta as fórmulas de transformação dessas coordenadas em termos de u , v e theta . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como versores, jacobiano, elemento de volume, transformações inversas, métricas, fatores de escala e operadores diferenciais. Cada parte do exercício vai exigir um passo diferente, então vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Definir os versores u, v e theta

Para definir os versores nas direções de crescimento das variáveis u , v e theta , usamos as derivadas parciais do vetor posição r em relação a cada coordenada, normalizadas.
Primeiro, escrevemos o vetor posição:
r = x(u, v, theta), i + y(u, v, theta), j + z(u, v, theta), k
Com as transformações dadas:
x &= u v cos theta y &= u v sin theta z &= 12(u^2 - v^2)
Agora, calculamos as derivadas parciais:
  1. Para u:
partial rpartial u = v cos theta, i + v sin theta, j + u, k
Normalizamos:
eu = 1hu partial rpartial u
  1. Para v:
partial rpartial v = u cos theta, i + u sin theta, j - v, k
Normalizamos:
ev = 1hv partial rpartial v
  1. Para theta:
partial rpartial theta = -u v sin theta, i + u v cos theta, j
Normalizamos:
etheta = 1htheta partial rpartial theta
Os fatores hu , hv e htheta são os fatores de escala que iremos calcular na parte (e).

Passo 3

Parte (b): Calcular o jacobiano e o elemento de volume dV

O jacobiano J representa a determinante da matriz das derivadas parciais das coordenadas cartesianas em relação às coordenadas parabólicas.
Calculamos o jacobiano:
J = det partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial theta partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial theta partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial theta
Substituindo as derivadas:
J = det v cos theta & u cos theta & -u v sin theta v sin theta & u sin theta & u v cos theta u & -v & 0
Calculando o determinante, obtemos:
J = (v cos theta)(u sin theta cdot 0 - u v cos theta cdot (-v)) - (u cos theta)(v sin theta cdot 0 - u v cos theta cdot u) + (-u v sin theta)(v sin theta cdot (-v) - u sin theta cdot u)
Simplificamos e encontramos:
J = u v (u^2 + v^2)
O elemento de volume dV em coordenadas parabólicas é dado por:
dV = J , du , dv , dtheta = u v (u^2 + v^2) , du , dv , dtheta

Passo 4

Parte (c): Calcular as transformações inversas u = u(x, y, z) , v = v(x, y, z) e theta = theta(x, y, z)

Para encontrar as transformações inversas, expressamos u , v e theta em termos de x , y e z .
  1. Primeiro, calculemos theta :
theta = arctan(yx)
  1. Para u e v , usamos as equações:
z = 12(u^2 - v^2) implies u^2 = z + v^2
E a relação de x e y :
x = u v cos theta y = u v sin theta
Sabendo que x^2 + y^2 = (u v)^2 , temos:
u v = raizx^2 + y^2
Então:
u = raizx^2 + y^2v
Substituindo na equação de u^2 :
(raizx^2 + y^2v)^2 = z + v^2 x^2 + y^2v^2 = z + v^2 x^2 + y^2 = v^2(z + v^2) v^4 + z v^2 - (x^2 + y^2) = 0
Resolvendo essa equação quadrática para v^2 :
v^2 = -z pm raizz^2 + 4(x^2 + y^2)2
Como v >= 0 , escolhemos a raiz positiva:
v = raiz-z + raizz^2 + 4(x^2 + y^2)2
E então:
u = raizx^2 + y^2v

Passo 5

Parte (d): Calcular a métrica em coordenadas parabólicas e verificar se é ortogonal

A métrica em coordenadas curvilíneas é determinada pelo tensor métrico gij , que, para coordenadas ortogonais, possui elementos não nulos apenas na diagonal.
Calculamos os fatores de escala hu , hv e htheta (já vão ser detalhados na parte (e)), e a métrica será:
ds^2 = hu^2 du^2 + hv^2 dv^2 + htheta^2 dtheta^2
Como não há termos cruzados (como du dv , etc.), a métrica é ortogonal.

Passo 6

Parte (e): Calcular os fatores de escala hu , hv e htheta

Os fatores de escala são as normas das derivadas parciais do vetor posição em relação a cada coordenada.
  1. Para hu :
hu = | partial rpartial u | = raiz(v cos theta)^2 + (v sin theta)^2 + u^2 = raizv^2 + u^2
  1. Para hv :
hv = | partial rpartial v | = raiz(u cos theta)^2 + (u sin theta)^2 + v^2 = raizu^2 + v^2
  1. Para htheta :
htheta = | partial rpartial theta | = raiz(-u v sin theta)^2 + (u v cos theta)^2 = u v

Passo 7

Parte (f): Calcular o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano nessas coordenadas

Para coordenadas ortogonais, as expressões dos operadores diferenciais são:
  1. Gradiente de uma função f(u, v, theta) :
nabla f = 1hu partial fpartial u , u + 1hv partial fpartial v , v + 1htheta partial fpartial theta , theta
  1. Divergente de um vetor A = Au u + Av v + Atheta theta :
nabla cdot A = 1hu hv htheta [ partialpartial u(hv htheta Au) + partialpartial v(hu htheta Av) + partialpartial theta(hu hv Atheta) ]
  1. Rotacional de um vetor A :
nabla times A = 1hv htheta [ partialpartial v(htheta Atheta) - partialpartial theta(Av htheta) ] u + 1htheta hu [ partialpartial theta(Au hu) - partialpartial u(htheta Atheta) ] v + 1hu hv [ partialpartial u(Av hv) - partialpartial v(Au hu) ] theta
  1. Laplaciano de uma função f(u, v, theta) :
nabla^2 f = 1hu hv htheta [ partialpartial u( hv hthetahu partial fpartial u ) + partialpartial v( hu hthetahv partial fpartial v ) + partialpartial theta( hu hvhtheta partial fpartial theta ) ]
Substituindo os fatores de escala encontrados:
hu = hv = raizu^2 + v^2, htheta = u v
As expressões específicas podem ser derivadas conforme a necessidade.

Passo 8

Parte (g): Determinar se o sistema de coordenadas é dextrógiro ou levógiro

Um sistema de coordenadas é chamado de dextrógiro se a base (u, v, theta) segue a regra da mão direita, e levógiro se segue a regra da mão esquerda.
Para verificar, calculamos o produto vetorial:
u times v = theta
Como u times v aponta na direção de theta , seguindo a regra da mão direita, o sistema é dextrógiro.

Resposta

Resumindo, definimos os versores u, v e theta nas direções das coordenadas parabólicas, calculamos o jacobiano J = u v (u^2 + v^2) e o elemento de volume dV = u v (u^2 + v^2) , du , dv , dtheta . As transformações inversas foram encontradas em termos de x , y e z , e a métrica do sistema é ortogonal. Os fatores de escala são hu = hv = raizu^2 + v^2 e htheta = u v . Calculamos os operadores diferenciais (gradiente, divergente, rotacional e laplaciano) para esse sistema, e finalmente, determinamos que o sistema de coordenadas é dextrógiro.

Exercícios relacionados