Calcule:
onde
é a região no
quadrante limitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
onde $ R $ é a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas $ y = x $ e $ y = x^2 $. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas e de como determinar os limites de integração para a região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região $ R $. Ela está no primeiro quadrante, o que significa que tanto $ x $ quanto $ y $ são positivos. As curvas que estão nos delimitando são $ y = x $ e $ y = x^2 $. Para visualizar isso, podemos esboçar essas duas curvas:
- A curva $ y = x $ é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°.
- A curva $ y = x^2 $ é uma parábola que também passa pela origem, mas se abre para cima.
Vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção de $ y = x $ e $ y = x^2 $, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Isso nos dá $ x = 0 $ ou $ x = 1 $. Assim, as curvas se intersectam nos pontos $ (0, 0) $ e $ (1, 1) $.
Passo 4
Agora que sabemos que a região $ R $ vai de $ x = 0 $ a $ x = 1 $, vamos decidir a ordem de integração. Geralmente, é mais fácil integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $. Para isso, precisamos expressar $ y $ em termos de $ x $:
- Para um valor fixo de $ x $, $ y $ varia de $ y = x^2 $ até $ y = x $.
Então, nossos limites de integração serão:
- $ x $ varia de 0 a 1.
- Para cada $ x $, $ y $ varia de $ x^2 $ a $ x $.
Passo 5
Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, $ x $ é tratado como uma constante na integração em relação a $ y $.
Passo 6
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a $ y $:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Vamos resolver essa integral:
Calculando nos limites:
Resposta
O valor da integral dupla é