Calcule:
integral duplaR x d A
onde R é a região no 1^0 quadrante limitada por y=x e y=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
integral duplaR x , dA
onde $ R $ é a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas $ y = x $ e $ y = x^2 $. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas e de como determinar os limites de integração para a região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região $ R $. Ela está no primeiro quadrante, o que significa que tanto $ x $ quanto $ y $ são positivos. As curvas que estão nos delimitando são $ y = x $ e $ y = x^2 $. Para visualizar isso, podemos esboçar essas duas curvas:
  • A curva $ y = x $ é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°.
  • A curva $ y = x^2 $ é uma parábola que também passa pela origem, mas se abre para cima.
Vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção de $ y = x $ e $ y = x^2 $, igualamos as duas equações:
y = x
Resolvendo essa equação:
y = x^2
Isso nos dá $ x = 0 $ ou $ x = 1 $. Assim, as curvas se intersectam nos pontos $ (0, 0) $ e $ (1, 1) $.

Passo 4

Agora que sabemos que a região $ R $ vai de $ x = 0 $ a $ x = 1 $, vamos decidir a ordem de integração. Geralmente, é mais fácil integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $. Para isso, precisamos expressar $ y $ em termos de $ x $:
  • Para um valor fixo de $ x $, $ y $ varia de $ y = x^2 $ até $ y = x $.
Então, nossos limites de integração serão:
  • $ x $ varia de 0 a 1.
  • Para cada $ x $, $ y $ varia de $ x^2 $ a $ x $.

Passo 5

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
integralx=0^1 integraly=x^2^x x , dy , dx
Aqui, $ x $ é tratado como uma constante na integração em relação a $ y $.

Passo 6

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a $ y $:
y
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integraly=x^2^x x , dy = x integraly=x^2^x dy = x [y]x^2^x = x (x - x^2) = x^2 - x^3
Vamos resolver essa integral:
integral0^1 (x^2 - x^3) , dx
Calculando nos limites:
integral0^1 x^2 , dx - integral0^1 x^3 , dx = [ x^33 ]0^1 - [ x^44 ]0^1

Resposta

O valor da integral dupla é
112

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