Seja h(u, v)=f(u-a v)+g(u+a v), onde a é uma constante real e f e g são funções quaisquer de uma variável real, deriváveis até a segunda ordem. Mostre que
partial^2 hpartial v^2=a^2 partial^2 hpartial u^2

Passo 1

O enunciado define
h(u,v)=f(u-av)+g(u+av)
onde a é constante e f,g têm derivadas até segunda ordem. Queremos mostrar que
partial^2 hpartial v^2=a^2partial^2 hpartial u^2
Para isso, vamos aplicar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Defina variáveis auxiliares
x = u - a v, y = u + a v
Pela regra da cadeia,
partial hpartial u = f'(x),partial xpartial u + g'(y),partial ypartial u = f'(x) + g'(y)

Passo 3

Agora derivamos novamente em u:
partial^2 hpartial u^2 = partialpartial ul(f'(x)+g'(y)r) = f''(x),partial xpartial u + g''(y),partial ypartial u = f''(x) + g''(y)

Passo 4

Calculemos partial h/partial v pelo mesmo procedimento:
partial hpartial v = f'(x),partial xpartial v + g'(y),partial ypartial v = f'(x),(-a) + g'(y),a = al(g'(y)-f'(x)r)

Passo 5

Derivando novamente em v:
partial^2 hpartial v^2 = partialpartial vl(a(g'(y)-f'(x))r) = al(g''(y),partial ypartial v-f''(x),partial xpartial vr) = al(a,g''(y)+a,f''(x)r) = a^2l(f''(x)+g''(y)r)

Passo 6

Comparando os resultados de partial^2 h/partial v^2 e partial^2 h/partial u^2, concluímos que
partial^2 hpartial v^2 = a^2l(f''(x)+g''(y)r) = a^2partial^2 hpartial u^2

Resposta

partial^2 hpartial v^2 = a^2,partial^2 hpartial u^2

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