Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra gente descobrir se a série
converge ou diverge. Se der, a gente também tenta achar a soma dela. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série
. Cada termo da série é dado pela expressão
. Isso quer dizer que, conforme n aumenta, a gente multiplica n por
elevado a
.
Passo 3
Agora, pra saber se a série converge ou diverge, a gente pode usar o Teste da Comparação ou o Teste da Raiz, que são métodos comuns pra séries que têm termos positivos. Mas, nesse caso, como a exponencial
diminui muito rápido, vamos optar pelo Teste da Comparação.
Passo 4
No Teste da Comparação, a gente compara nossa série com outra série conhecida que sabemos se converge ou diverge. Vamos comparar com a série geométrica
. Sabemos que a série geométrica
converge se
. No nosso caso,
, então a série geométrica
converges.
Passo 5
Observamos que para todo
,
é menor que
. Portanto, multiplicando ambos os lados por
, temos
. Como a série
converge e nossos termos
são menores ou iguais a esses termos convergentes, pelo Teste da Comparação, a nossa série
também converge.
Passo 6
Agora, sobre encontrar a soma da série
, ela não tem uma expressão fechada simples conhecida. Ou seja, a soma exata não pode ser escrita de forma simples usando funções elementares. Para achar a soma, precisaríamos usar métodos numéricos ou aproximações, mas ela não se resume a uma fórmula fácil.
Resposta
A série
converge, mas não é possível expressar a soma dela de forma simples.