Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
sumn=1^infty n 2^-n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra gente descobrir se a série sumn=1^infty n 2^-n^2 converge ou diverge. Se der, a gente também tenta achar a soma dela. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série sumn=1^infty n 2^-n^2. Cada termo da série é dado pela expressão n 2^-n^2. Isso quer dizer que, conforme n aumenta, a gente multiplica n por 2 elevado a -n^2.

Passo 3

Agora, pra saber se a série converge ou diverge, a gente pode usar o Teste da Comparação ou o Teste da Raiz, que são métodos comuns pra séries que têm termos positivos. Mas, nesse caso, como a exponencial 2^-n^2 diminui muito rápido, vamos optar pelo Teste da Comparação.

Passo 4

No Teste da Comparação, a gente compara nossa série com outra série conhecida que sabemos se converge ou diverge. Vamos comparar com a série geométrica sumn=1^infty n 2^-n. Sabemos que a série geométrica sumn=1^infty n r^n converge se |r| < 1. No nosso caso, r = 12, então a série geométrica sumn=1^infty n 2^-n converges.

Passo 5

Observamos que para todo n >= 1, 2^-n^2 é menor que 2^-n. Portanto, multiplicando ambos os lados por n, temos n 2^-n^2 <= n 2^-n. Como a série sumn=1^infty n 2^-n converge e nossos termos n 2^-n^2 são menores ou iguais a esses termos convergentes, pelo Teste da Comparação, a nossa série sumn=1^infty n 2^-n^2 também converge.

Passo 6

Agora, sobre encontrar a soma da série sumn=1^infty n 2^-n^2, ela não tem uma expressão fechada simples conhecida. Ou seja, a soma exata não pode ser escrita de forma simples usando funções elementares. Para achar a soma, precisaríamos usar métodos numéricos ou aproximações, mas ela não se resume a uma fórmula fácil.

Resposta

A série sumn=1^infty n 2^-n^2 converge, mas não é possível expressar a soma dela de forma simples.

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