Encontre a massa do sólido no primeiro octante, definido pelos planos coordenados e o plano
densidade é .
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a massa de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) limitado pelos planos coordenados e pelo plano . A densidade desse sólido é dada por . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, que nos ajudarão a calcular a massa considerando a variação da densidade no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a massa de um sólido com densidade variável. A fórmula geral para a massa de um sólido é:
No nosso caso, a densidade depende apenas de , ou seja, . Então, a massa será:
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para , e . Como estamos no primeiro octante e limitados pelo plano , temos:
varia de 0 a 1.
Para um dado , varia de 0 a .
Para um dado e , varia de 0 a .
Então, nossa integral tripla fica:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a :
Então, agora a massa fica:
M = integral0^1 integral0^1 - x x(1 - x - y) , dy , dx
Passo 5
Em seguida, integramos em relação a y:
integral0^1 - x x(1 - x - y) , dy = x [ (1 - x)y - 12y^2 ]0^1 - x