Encontre a massa do sólido no primeiro octante, definido pelos planos coordenados e o plano
x+y+z=1
densidade é rho=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a massa de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são positivos) limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 1. A densidade desse sólido é dada por rho = x. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, que nos ajudarão a calcular a massa considerando a variação da densidade no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a massa de um sólido com densidade variável. A fórmula geral para a massa M de um sólido é:
M = integral triplaV rho(x, y, z) , dV
No nosso caso, a densidade rho depende apenas de x, ou seja, rho = x. Então, a massa será:
M = integral triplaV x , dV

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para x, y e z. Como estamos no primeiro octante e limitados pelo plano x + y + z = 1, temos:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para um dado x, y varia de 0 a 1 - x.
  • Para um dado x e y, z varia de 0 a 1 - x - y.
Então, nossa integral tripla fica:
M = integral0^1 integral0^1 - x integral0^1 - x - y x , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a z:
integral0^1 - x - y x , dz = x cdot z gr|0^1 - x - y = x(1 - x - y)
Então, agora a massa fica:
M = integral0^1 integral0^1 - x x(1 - x - y) , dy , dx

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a y:
integral0^1 - x x(1 - x - y) , dy = x [ (1 - x)y - 12y^2 ]0^1 - x
Substituindo os limites:
x [ (1 - x)(1 - x) - 12(1 - x)^2 ] = x [ (1 - x)^2 - 12(1 - x)^2 ] = x2(1 - x)^2
Então, a massa agora é:
M = integral0^1 x2(1 - x)^2 , dx

Passo 6

Por fim, integramos em relação a x:
Primeiro, expandimos (1 - x)^2:
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
Então, a integral fica:
M = 12 integral0^1 x(1 - 2x + x^2) , dx = 12 integral0^1 (x - 2x^2 + x^3) , dx
Integrando termo a termo:
12 [ 12x^2 - 23x^3 + 14x^4 ]0^1 = 12 ( 12 - 23 + 14 )
Calculando os valores:
12 ( 612 - 812 + 312 ) = 12 ( 112 ) = 124

Resposta

A massa do sólido no primeiro octante é 124.

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