Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
sumn=1^infty 1n raiz[3]ln n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série sumn=1^infty 1n raiz[3]ln n converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar o Teste da Integral, que nos ajuda a analisar o comportamento de séries quando temos termos que envolvem funções contínuas e decrescentes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar nossa análise:
sumn=2^infty 1n (ln n)^1/3
Note que começamos a soma a partir de n = 2 porque ln 1 = 0 e dividir por zero não é permitido.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste nos diz que se a função f(n) = 1n (ln n)^1/3 é positiva, contínua e decrescente para n >= 2, então o comportamento da série sumn=2^infty f(n) é o mesmo da integral integral2^infty f(x) , dx. Se a integral converge, a série também converge; se a integral diverge, a série diverge.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral2^infty 1x (ln x)^1/3 , dx
Fazendo a substituição u = ln x, temos du = 1x dx. Assim, a integral vira:
integralln 2^infty 1u^1/3 , du
Essa é uma integral do tipo integralA^infty 1u^p , du, onde p = 13.
Sabemos que essa integral converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, p = 13 < 1, então a integral diverge.

Passo 5

Como a integral integral2^infty 1x (ln x)^1/3 , dx diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty 1n (ln n)^1/3 também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n raiz[3]ln n diverge.

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