Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar o Teste da Integral, que nos ajuda a analisar o comportamento de séries quando temos termos que envolvem funções contínuas e decrescentes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar nossa análise:
Note que começamos a soma a partir de
porque
e dividir por zero não é permitido.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste nos diz que se a função
é positiva, contínua e decrescente para
, então o comportamento da série
é o mesmo da integral
. Se a integral converge, a série também converge; se a integral diverge, a série diverge.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição
, temos
. Assim, a integral vira:
Essa é uma integral do tipo
, onde
.
Sabemos que essa integral converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, então a integral diverge.
Passo 5
Como a integral
diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.