Calcule integral duplaR(2 x-y^2) d A na região triangular R, compreendida pelas retas y=-x+1 , y=x+1 e y=3.

Passo 1

Resumo do enunciado: Calcular
integral duplaR(2x - y^2),dA
onde R é o triângulo limitado pelas retas y=-x+1, y=x+1 e y=3.
Conteúdo: integrais duplas em cálculo multivariável.
O que vamos precisar:
• Desenhar a região pra achar os vértices.
• Definir limites de integração (montar a integral iterada).
• Usar antiderivadas para resolver a integral passo a passo.
Relaxa que a gente vai destrinchar tudo!

Passo 2

Identificar os vértices de R:
  1. Interseção de y=-x+1 com y=x+1:
-x+1 = x+1 implies 2x=0 implies x=0,;y=1
Vértice (0,1).
2. Interseção de y=-x+1 com y=3:
3 = -x+1 implies x=-2,;y=3
Vértice (-2,3).
3. Interseção de y=x+1 com y=3:
3 = x+1 implies x=2,;y=3
Vértice (2,3).

Passo 3

Escolher ordem de integração: dx,dy.
Para cada y em [1,3]:
  • A reta y=-x+1 x=1-y (limite esquerdo).
  • A reta y=x+1 x=y-1 (limite direito).
    Logo
integral duplaR(2x - y^2),dA = integraly=1^3!integralx=,1-y^,y-1 (2x - y^2),dx,dy

Passo 4

Calcular a integral interna em x:
integral (2x - y^2),dx = integral 2x,dx ;-;integral y^2,dx = x^2 - y^2x,
onde tratamos y como constante ao integrar em x.

Passo 5

Avaliar de x=1-y a x=y-1:
l[x^2 - y^2xr]1-y^,y-1 = l((y-1)^2 - y^2(y-1)r) - l((1-y)^2 - y^2(1-y)r)
Simplificando cuidadosamente, isso dá
-2y^3 + 2y^2

Passo 6

Ficamos com a integral só em y:
integral1^3 (-2y^3 + 2y^2),dy
Usando integral y^ndy = tfracy^n+1n+1:
integral -2y^3,dy = -tfracy^42, integral 2y^2,dy = tfrac2y^33
Então
integral1^3 (-2y^3 + 2y^2),dy = l(-tfracy^42 + tfrac2y^33r)|1^3

Passo 7

Avaliar em y=3 e y=1:
  • Para y=3:
    -tfrac3^42 + tfrac2cdot3^33 = -tfrac812 + 18 = -tfrac452
  • Para y=1:
    -tfrac12 + tfrac23 = -tfrac36 + tfrac46 = tfrac16
    Subtraindo:
-tfrac452 - tfrac16 = -tfrac1356 - tfrac16 = -tfrac1366 = -tfrac683

Resposta

-683

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