2.5 Converta os seguintes vetores para os sistemas cilíndrico e esférico:
G=(x^2+y^2)[x axraizx^2+y^2+z^2+y ayraizx^2+y^2+z^2+z azraizx^2+y^2+z^2]

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial em base cartesiana
G=(x^2+y^2)l[x,axraizx^2+y^2+z^2+y,ayraizx^2+y^2+z^2+z,azraizx^2+y^2+z^2r]
e pede a representação nos sistemas cilíndrico (rho,phi,z) e esférico (r,theta,phi). Vamos usar as transformações
x=rhocosphi, y=rhosinphi, z=z, r=raizrho^2+z^2
para cilindro, e
x=rsinthetacosphi,;y=rsinthetasinphi,;z=rcostheta
para esfera, além das bases arho,aphi,az e ar,atheta,aphi.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x^2+y^2=rho^2, raizx^2+y^2+z^2=raizrho^2+z^2,,
então os componentes cartesian os viram
x,ax+y,ay =rhocosphi,ax+rhosinphi,ay =rho,arho
e o termo em az fica z,az. Assim
G =rho^2raizrho^2+z^2l(rho,arho+z,azr)
expande-se em
G =rho^3raizrho^2+z^2,arho +rho^2zraizrho^2+z^2,az,

Passo 3

Para coordenadas esféricas note que
x^2+y^2=r^2sin^2theta, raizx^2+y^2+z^2=r,
e que
x,ax+y,ay+z,azr =ar
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G =(x^2+y^2),ar =r^2sin^2theta,ar

Resposta

Na base cilíndrica:
G =rho^3raizrho^2+z^2,arho +rho^2zraizrho^2+z^2,az
Na base esférica:
G =r^2sin^2theta,ar

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