Calcule:
integral0^pi3 integral0^cos (y)[x sin (y)] d x d y

Passo 1

O enunciado pede pra calcular
integral0^pi3 integral0^cos(y) x,sin(y);dx;dy
Conteúdo: integração dupla (iterada) e técnicas de integração (integral de constante em relação a uma variável e substituição). Vamos primeiro integrar em x (tratando sin(y) como constante) e depois em y (usando substituição u=cos(y)).

Passo 2

Integral interna:
integral0^cos(y) x,sin(y);dx
Como sin(y) é constante em x,
integral0^cos(y) x,sin(y);dx =sin(y)integral0^cos(y) x;dx
Sabendo que integral x,dx=tfracx^22, temos
sin(y)l[tfracx^22r]0^cos(y) =sin(y),cos^2(y)2 =sin(y),cos^2(y)2

Passo 3

Agora a integral externa:
integral0^pi3 sin(y),cos^2(y)2;dy =12integral0^pi3sin(y)cos^2(y);dy
Usamos substituição:
defina u=cos(y), daí du=-sin(y),dy (ou seja sin(y),dy=-du).
integral sin(y)cos^2(y),dy =integral u^2,(sin(y),dy) =integral u^2,(-du) =-integral u^2,du =-u^33
Aplicando limites y=0to u=1 e y=pi3to u=tfrac12:
integral0^pi3sin(y)cos^2(y),dy =l[-tfracu^33r]1^tfrac12 =l(-tfrac(tfrac12)^33r) -l(-tfrac1^33r) =-tfrac124+tfrac13 =tfrac724
Multiplicando por tfrac12:
12cdot724=748

Resposta

748

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